城市规划[多项式连通图计数]

Posted 2021-03-23 hzoi-yzh

求出n个点的简单(无重边无自环)无向连通图数目，$n <= 130000$，$mod 1004535809$

设$f_i$表示i个点的无向连通图数，连通图计数的套路，枚举1号点所在的连通块大小

egin{array}{rcl}
f_n&=&2^{C_n^2}-sumlimits_{i=1}^{n-1}inom{n-1}{i-1}f_i 2^{C_{n-i}^2}
\f_n&=&2^{C_n^2}-(n-1)!sumlimits_{i=1}^{n-1}frac{f_i}{(i-1)!}frac{2^{C_{n-i}^2}}{(n-i)!}
\frac{f_n}{(n-1)!}&=&frac{2^{C_n^2}}{(n-1)!}-sumlimits_{i=1}^{n-1}frac{f_i}{(i-1)!}frac{2^{C_{n-i}^2}}{(n-i)!}
end{array}

设$F_i=frac{f_i}{(i-1)!},G_i=frac{2^{C_i^2}}{i!},F_1=1,G_0=0$

有

egin{array}{rcl}
F_n&=&frac{2^{C_n^2}}{(n-1)!}-sumlimits_{i=0}^{n}F_iG{n-i}
end{array}

发现后面是自己卷自己的形式，分治NTT即可。$Theta(nlog^2n)$

在叶子节点已经收集完这个点所需要的所有信息，把前面的项考虑进去，更新别人。

把相似的项放在一起，能提到$sum$外的提出去，找到定值，设多项式，构造卷积形式。