bzoj 3456: 城市规划NTT+多项式求逆

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了bzoj 3456: 城市规划NTT+多项式求逆相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

参考:http://blog.miskcoo.com/2015/05/bzoj-3456
首先推出递推式(上面的blog讲的挺清楚的),大概过程是正难则反,设g为n个点的简单(无重边无自环)无向图数目,显然边数是\( C_{n}^{2} \),所以\( g(n)=2^{C_{n}^{2}} \),那么f[n]=g[n]-n个点的简单(无重边无自环)无向不连通图数目,后面那部分可以枚举1所在联通块的1点数,当这个块有i个点时,方案数为从n-1个点中选出i-1个(减去点1)* f[i](这i个点组成无向连通图方案数)*g[n-i](剩下的点组成无向图的方案数),写成公式就是\( \sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^{i-1}f[i]g[n-i] \),然后把这两部分相减就得到了递推式:
\[ f[n]=g[n]-\sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^{i-1}f[i]g[n-i] \]
\[ f[n]=2^{C_n^2}-\sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^{i-1}f[i]2^{C_{n-i}^2} \]
然后开始大力推式子,目标是推出卷积!
\[ f[n]=2^{C_n^2}-\sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^{i-1}f[i]2^{C_{n-i}^2} \]
\[ f[n]=2^{C_n^2}-\sum_{i=1}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}f[i]2^{C_{n-i}^2} \]
\[ f[n]=2^{C_n^2}-(n-1)!\sum_{i=1}^{n-1}\frac{2^{C_{n-i}^2}f[i]}{(i-1)!(n-i)!} \]
\[ f[n]=2^{C_n^2}-(n-1)!\sum_{i=1}^{n-1}\frac{f[i]}{(i-1)!}*\frac{2^{C_{n-i}^2}}{(n-i)!} \]看起来有点样子了,然而这是递推式怎么办!
开始等号左右瞎移项
\[ 2^{C_n^2}-f[n]=(n-1)!\sum_{i=1}^{n-1}\frac{f[i]}{(i-1)!}*\frac{2^{C_{n-i}^2}}{(n-i)!} \]
\[ 2^{C_n^2}=(n-1)!\sum_{i=1}^{n-1}\frac{f[i]}{(i-1)!}*\frac{2^{C_{n-i}^2}}{(n-i)!}+f[n] \]
\[ 2^{C_n^2}=(n-1)!\sum_{i=1}^{n}\frac{f[i]}{(i-1)!}*\frac{2^{C_{n-i}^2}}{(n-i)!} \]
\[ \frac{2^{C_n^2}}{(n-1)!}=\sum_{i=1}^{n}\frac{f[i]}{(i-1)!}*\frac{2^{C_{n-i}^2}}{(n-i)!} \]
\[ a[i]=\frac{f[i]}{(i-1)!},b[i]=\frac{2^{C_{i}^2}}{(i)!},c[i]=\frac{2^{C_i^2}}{(i-1)!} \]
于是变成了这样的形式:\( A*B=C \),现在要求的是A,所以把它变形为\( A=B^{-1}*C \)
这里涉及到了多项式求逆元,在这里简述一下(参考:http://blog.csdn.net/qq_33229466/article/details/70212684):
求\( A?G=1(mod x^m) \)
已有B满足\( A?B=1(mod x^{\frac{m}{2}}) \)
因为\( A?G=1(mod x^{\frac{m}{2}}) \)
所以\( (G?B)=0(mod x^{\frac{m}{2}}) \)
两边平方\( G^2+b^2-2GB=0(mod x^{\frac{m}{2}}) , G^2=2GB-b^2(mod x^{\frac{m}{2}}) \)
同乘A得\( G=2B-AB \)
然后递归求即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=300005,mod=1004535809,G=3;
int n,m,a[N],b[N],c[N],nb[N],fac[N],inv[N],fi[N],tmp[N],re[N];
int ksm(int a,int b)
{
    int r=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            r=1ll*r*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return r;
}
void dft(int a[],int lm,int f)
{
    int bt=log(lm)/log(2)+0.1;
    for(int i=0;i<lm;i++)
    {
        re[i]=(re[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bt-1));
        if(i<re[i])
            swap(a[i],a[re[i]]);
    }
    for(int i=1;i<lm;i<<=1)
    {
        int wi=ksm(G,(mod-1)/(i<<1));
        if(f==-1)
            wi=ksm(wi,mod-2);
        for(int k=0;k<lm;k+=(i<<1))
        {
            int w=1,x,y;
            for(int j=0;j<i;j++)
            {
                x=a[k+j];
                y=1ll*w*a[i+j+k]%mod;
                a[j+k]=((x+y)%mod+mod)%mod;
                a[i+j+k]=((x-y)%mod+mod)%mod;
                w=1ll*w*wi%mod;
            }
        }
    }
    if(f==-1)
    {
        int ni=ksm(lm,mod-2);
        for(int i=0;i<lm;i++)
            a[i]=1ll*a[i]*ni%mod;
    }//cout<<"???"<<endl;
}
void ni(int a[],int b[],int n)
{
    if(n==1)
    {//cout<<"OK"<<endl;
        b[0]=ksm(a[0],mod-2);
        return;
    }
    ni(a,b,n/2);
    memcpy(tmp,a,sizeof(a[0])*n);
    memset(tmp+n,0,sizeof(tmp[0])*n);
    dft(tmp,n<<1,1);
    dft(b,n<<1,1);
    for(int i=0;i<(n<<1);i++)
        tmp[i]=1ll*b[i]*(2-1ll*tmp[i]*b[i]%mod+mod)%mod;
    dft(tmp,n<<1,-1);
    for(int i=0;i<n;i++)
        b[i]=tmp[i];
    memset(b+n,0,sizeof(b[0])*n);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    inv[1]=1,fac[0]=fi[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(i>1)
            inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
        fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;//cout<<fac[i]<<endl;
        fi[i]=1ll*fi[i-1]*inv[i]%mod;
    }
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        int now=ksm(2,1ll*(i-1)*i/2%(mod-1));
        b[i]=1ll*now*fi[i]%mod;
        if(i>0)
            c[i]=1ll*now*fi[i-1]%mod;
    }
    for(m=1;m<=n;m<<=1);//cout<<bt<<" "<<m<<endl;
    ni(b,nb,m);
    dft(nb,m<<1,1);
    dft(c,m<<1,1);
    for(int i=0;i<(m<<1);i++)
        a[i]=1ll*nb[i]*c[i]%mod;
    dft(a,m<<1,-1);//cout<<fac[n-1]<<endl;
    printf("%d\n",1ll*a[n]*fac[n-1]%mod);
    return 0;
}

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