「不会」等价类计数

Posted 2021-03-19 yxsplayxs

完全忘了TnT
然而这种类型的题目好像没考过..

先复习一下万能的burnside引理，
啊不先复习一下定义（有些是本蒻自己yy的可能并不准确）

一个物体：被染色的对象
一个元素：一种染色方案
一个置换(g)：一种让物体交换位置的变换方法
一个置换群(G)：里面的置换满足封闭性结合律单位元逆元
一个循环(对于一个置换i来说的)：不停地用一个置换作用于所有物体，物体呈现循环运动的轨迹（数目记为(h_i))
一个不动点（对于一个置换i来说的）：被该置换作用后，不发生改变的一个元素（数目记为(c_i)）
一个不动置换类（对于一个元素k来说的）：作用在该元素上使该元素不发生改变的一个置换（数目记为(Z_k)）
一个等价类（对于一个元素k来说的）：在G中所有置换作用下k的轨迹，即变化成所有元素的集合（记为(E_k)）
等价类数目（对于一个置换群G来说的）：G的作用把全集分成的等价类的个数..（记为L）

问：给一串珠子染色，旋转/翻转同构算一种，某某颜色还不能挨着，某某颜色还必须挨着...
有几种染色方案？

即求等价类数目，此时需要搬出burnside引理
[L=frac{1}{|G|} sum c_i]
诡谲的翻译：所有置换的不动点的平均值

还是先理解一个比(L=frac{1}{|G|} sum c_i)直观一点的事实
[|G|=|Z_k|*|E_k|]（对任意元素k）
（本蒻的毛病就是，不理解活不下去）

根据本蒻的直观理解，
置换群的一个优美性质是 能使群内元素到达它所在等价类的所有位置的置换数目都相同
也就是说若(E_x==E_y),使(k_0->k_1)的置换数目(num（k_0->k_1）=frac{|G|}{|E_k|})
而(num（k->k）=|Z_k|)，故(|Z_k|=frac{|G|}{|E_k|})
故(|G|=|Z_k|*|E_k|)
翻译：对任意元素k，置换总数|G|=k所在等价类中元素的(|Z|)之和

那么每个(|G|)都可以代表某一个等价类的(|Z|)之和，
用(L)个(|G|)就能代表所有元素的(|Z|)之和。
[L*|G|=sum|Z|]
统计“置换作用于元素但元素未改变”这一事件发生的数量
[sum|Z|=sum c_i]
故
[L*|G|=sum c_i]
[L=frac{1}{|G|} sum c_i]
问题有了头绪，求每个置换的不动点数目就行了

然后burnside引理有个延伸/具体化叫polya定理
如果没有颜色相邻的要求，即所有颜色平等化的话，
[L=frac{1}{|G|} sum m^{h_i}]
基本没怎么变，但是求每个置换的循环节就行了

在一些等价类计数问题中，只需用（tao）到（shang）上述理论
再用一些其他计数算法去计算每个置换的不动点数目/循环节数目就能解决..

只做过帮助理解的一些淼题..

「card」
burnside+dp

「周末晚会」
burnside+dp

「color」
polya+math

「Magic Bracelet」
burnside+dp

「有色图」
这道不是淼题，
而是我感觉很难的一道题..
https://www.cnblogs.com/yxsplayxs/p/11632236.html