数学-杂

Posted 2021-03-16 2018hzoicyf

伯努利数&自然数幂和：

没办法，现在背背好啦。。。

设$S_n$为自然数幂和，有

　　$S_n=frac{1}{k+1}*sumlimits_{i=0}^{k} C_{k+1}^{i} * B_{i} * n^{k+1-i}$.

有两种伯努利数，区别是$B[1]$的正负。

　　1>$B[1]=frac{1}{2}$时，$S_n= sumlimits_{i=1}^{n} i^{k}$

　　2>else，$S_n= sumlimits_{i=0}^{n-1}i^{k}$

伯努利数的性质，此时$B[1]=-frac{1}{2}$。

　　$sumlimits_{i=0}^{n}C_{n+1}^{i}*B_{i}=0$

化成

　　$sumlimits_{i=0}^{n}{C_{n+1}^{i}*B_{i}}=-(n+1)*B_{i}$

然后把阶乘拆开就可以分治$FFT$辣，就是伯努利的求法。