数学公式杂记

Posted 2021-05-21 Suzt_ilymtics

就算鼻血流尽，也不能放弃妄想。

目录

• 写在前面
• 等比数列
• 素数唯一分解定理
• 约数个数定理
• 约数和定理

写在前面

收录了一些比较杂的定理性质啥玩意的

等比数列

对于所有项，均满足 \\(\\frac{a_i}{a_{i - 1}} = q\\)，其中 \\(q\\) 是等比

第 \\(n\\) 项的值：\\(a_n = a_1 \\times q^{n - 1}\\)

前 \\(n\\) 项的和：\\(\\sum_{i = 1}^{n}a_i = \\frac{a_1 \\times (1 - q^n)}{1 - q}\\)

如果在模 \\(m\\) 的意义下，可以利用费马小定理求出 \\(1-q\\) 的逆元来做

素数唯一分解定理

任意一个数 \\(x\\) ，均能分解成几个素数的乘积，如果不计顺序，分解方式是唯一的

设每一个素数为 \\(p_i\\)，则有

\\[x = \\prod_{i = 1}^{k}p_i^{a_i} \\]

其中 \\(k\\) 表示一共分解为 \\(k\\) 个素数，\\(a_i\\) 表示第 \\(i\\) 个素数出现次数

约数个数定理

对于任意一个数 \\(x\\) ，它的约数个数为

\\[num = \\prod_{i = 1}^{k}(a_i + 1) \\]

证明：

对于每个质因子都有 \\(a_i + 1\\) 中选择方式，根据乘法原理将所有质因子的选择方式乘起来即可

约数和定理

对于任意一个数 \\(n\\) ，它的所有约数的和为

\\[S = \\prod_{i = 1}^{k}(\\sum_{j = 0}^{a_i}p_j) \\]

证明（或者是一种理解方式？）：

我们知道每个质因子都有 \\(a_i + 1\\) 中选择方式，考虑构造一个生成函数 \\(F(n)\\)

那么第 \\(i\\) 项为 \\((p_i^0 + p_i^1 + ... + p_i^{a_i - 1} + p_i^{a_i}) = \\sum_{j = 0}^{a_i}p_i^j\\)

考虑生成函数的形式，

\\[F(n) = \\sum_{j = 0}^{a_0}p_0^j \\times \\sum_{j = 0}^{a_1}p_1^j \\times ... \\times \\sum_{j = 0}^{a_{k - 1}}p_{k - 1}^j \\times \\sum_{j = 0}^{a_k}p_k^j \\]

即可得到上面的约数和定理

如果把 \\(F(x)\\) 展开的话，每一项恰好是一个约数，求和恰好是答案

优化：

发现后面的 \\(\\sum_{j = 0}^{a_i}p_i^j\\) 是一个等比数列形式，考虑化简一下，变成

\\[S = \\prod_{i = 1}^{k}(\\frac{p_i^{k+1} - 1}{p_i - 1}) \\]