浅析树链剖分

Posted 2021-03-16 wizarderror

前言

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树链剖分，我觉得最精妙的地方就在于它是通过$dfs$序将树形结构转为线性结构便于处理，进而可以用数据结构（线段树、树状数组等）去进行修改和查询。

将复杂的结构转化为相对我们熟悉简单的结构，这个思想对很多问题是通吃的，不仅仅在树形问题，算法中，在其他领域中也常常会用到这种思想

我们先来回顾两个问题：

1.将树从$x$到$y$结点最短路径上所有节点的值都加上z

我们很容易想到，树上差分可以以 $O(n+m)$的优秀复杂度解决这个问题

 2.求树从$x$到$y$结点最短路径上所有节点的值之和

$lca$大水题，我们又很容易地想到， $dfs$ $O(n)$预处理每个节点的$dis$（即到根节点的最短路径长度）

然后对于每个询问，求出$x,y$两点的$lca$，利用$lca$的性质$dis(x,y)=dis(x)+dis(y)-2*dis(lca)$求出结果，时间复杂度 $O(mlogn+n)$

现在来思考一个$bug$：

如果刚才的两个问题结合起来，成为一道题的两种操作呢？

刚才的方法显然就不够优秀了（每次询问之前要跑$dfs$更新 $dis$ ）

理解

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树剖是通过轻重边剖分将树分割成多条链，然后利用数据结构来维护这些链（本质上是一种优化暴力）

给定一棵有根树，对于每个非叶结点$u$，设$u$的子树中结点数最多的子树的树根为$v$，则标记$(u,v)$为重边，从$u$出发往下的其他边均为轻边

如图所示（结点中的数字代表结点的$size$值，即以该结点为根的子树的结点数）

 

根据上面的定义，只需一次$DFS$就能把一棵有根树分解成若干重路径（重边组成的路径）和若干轻边。

有些资料也把重路径称为树链，因此轻重路径剖分也称树链剖分。 （下面的定理结论可不看）

路径剖分中最重要的定理如下：若$v$是$u$的子结点，$(u,v)$是轻边，则$size(v)<size(u)/2$，其中$size(u)$表示以$u$为根的子树中的结点总数（可以自己推导下）

由此可以得到如下的重要结论：对于任意非根结点$u$，在$u$到根的路径上，轻边和重路径的条数均不超过$log_{2}n$，因为每碰到一条轻边，$size$值就会减半。（对于概念，我还是觉得刘汝佳讲的最准确和便于理解）

 

因此重链剖分可以将树上的任意一条路径划分成不超过$O(logn)$条连续的链，每条链上的点深度互不相同（即是自底向上的一条链，链上所有点的 $LCA$ 为链的一个端点）。

重链剖分还能保证划分出的每条链上的节点 $DFS$ 序连续，因此可以方便地用一些维护序列的数据结构（如线段树）来维护树上路径的信息，如：

1.修改 树上两点之间的路径上 所有点的值
2.查询 树上两点之间的路径上 节点权值的 和/极值/其它（在序列上可以用数据结构维护，便于合并的信息）
除了配合数据结构来维护树上路径信息，树剖还可以用来$O(logn)$  （且常数较小）地求 $LCA$。
在某些题目中，还可以利用其性质来灵活地运用树剖

实现

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首先第一遍$dfs$，对于每个节点，我们主要是求出它所在子树的大小并标记重儿子

void dfs1(int u, int fa){
    size[u] = 1; //这个点本身size=1
    for(int i = head[u]; i; i = e[i].next){
        int v = e[i].to;
        if(v==fa) continue;
        dep[v] = dep[u] + 1, f[v] = u;
        dfs1(v, u), size[u] += size[v]; //子节点的size已被处理，用它来更新父节点的size
        if(size[v]>size[son[u]]) son[u] = v; //选取size最大的作为重儿子
    }
} 

 

第二遍 dfs，然后连接重链，同时标记每一个节点的 dfs序，并且为了用数据结构来维护重链，我们在 dfs时保证一条重链上各个节点 dfs序连续