主席树入门

Posted 2021-03-15 chen99

　　主席树又叫可持久化权值线段树，一开始使用来解决第k大的问题，因其发明者黄嘉泰名字的首字母和某人的一样，所以被叫做主席树。

 

　　在了解主席树之前，我们先认识一下什么叫做权值线段树。

　　给你n个数，问你这n个数中第k小的数是哪个。像这种题我们一般都是直接排序然后暴力找，但是我们今天用线段树来试试。

　　例如a[12]={1，5，7，3，2，6，8，1，3，5，5，2}，你要求出a数组中第7小的数的值。我们先建棵线段树用来存每个值出现的次数，按下标从小到大依次将数组中的元素放入插入线段树中。

　　插入前三个数后，线段树就变成了这样

 

 

 　　继续插入元素，直至数组中的元素全部插入线段树中

　　

 

　　像这样按权值建的树就叫做权值线段树

 

　　当全部插完后，就开始找第7小的数了。我们先从根开始，看看他左儿子的值是否大于k（这里k=7），假如左儿子的值大于等于k那么我们要找的第k小的数就在左边，否则就在右边。

　　在这里左儿子也就是节点2的值为6，小于7，所以我们要找的数在右边，接下来我们要找以节点3为根的子树中最小的那个数。

　　还是向上面那样一直递归，直到到了叶子节点，这时我们就找到了在数组中第7小的数了。

 

　　接下来就是找区间内第k小的数了。对于任意[l，r]区间，我们先需要知道这个区间内有些什么数，然后再去找第k小。

　　对于前一步，我们可以考虑建n棵权值线段树，第i棵权值线段树用来存[1，i]内各个数字的出现情况，这样我们就能直接利用前缀和的性质，让第r棵和第l-1棵权值线段树对应相减，这样我们就得到了[l，r]区间内数字的出现情况。

　　然后我们就只需递归查找第k小就行了

 

　　但是，要这样做的话我们就必须建n棵线段树，而每个线段树又要开四倍的空间，这样空间复杂度就太大了，我们必须要想办法去优化空间。

 

　　我们仔细观察每次建树就会发现相邻两颗树只有logn个点不同，其余的都一样，就像第7棵权值线段树和第8棵权值线段树，他们只有划杠的那几个点不一样

 

 

 　　所以我们只需在上一颗树的基础上再开logn个点就行了，其他不变的结点直接继承上一颗树的对应结点，这样空间的开销就能接受了。

　　

 

 

 

 

　　

　　主席树例题：https://www.luogu.com.cn/problem/P3834

　　

　　给你n个数，m个询问，每个问你[l，r]内的第k小的数是什么，n和m都是在1到2e5之间，数字大小在-1e9到1e9之间。

　　直接上主席树，先建n棵树然后利用前缀和弄出区间内的数，最后在递归找第k小的那个数。

　　

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 200005
int n,m,cnt,a[maxn],b[maxn],root[maxn*40],L[maxn*40],R[maxn*40],sum[maxn*40];
//root存根的编号，L存左儿子的编号，R存右儿子的编号，sum存数字数量
int update(int pre,int l,int r,int pos)//pre为上个版本的编号，pos为位置 
{
    int rt=++cnt;//用rt存当前结点编号 
    L[rt]=L[pre];R[rt]=R[pre];
    //先将左儿子和右儿子全部等于上个版本对应的左右儿子，后面再看具体是要更新哪个儿子 
    sum[rt]=sum[pre]+1;//数量加加 
    if(l==r)return rt;
    int mid=l+r>>1;
    if(mid>=pos)L[rt]=update(L[pre],l,mid,pos);//更新左儿子 
    else R[rt]=update(R[pre],mid+1,r,pos);//更新右儿子 
    return rt;
}
int query(int x,int y,int l,int r,int k)//x和y分别代表第l-1棵树和第r棵树的结点编号，k为第k小 
{
    if(l==r)return l;//返回的是离散化后的数组中的位置 
    int mid=l+r>>1,tot=sum[L[y]]-sum[L[x]];
    //tot为当前结点，两棵树的左儿子所包含的数字数量之差 
    if(tot>=k)return query(L[x],L[y],l,mid,k);//如果tot>=k那就意味着第k小在左子树中 
    else return query(R[x],R[y],mid+1,r,k-tot);//否则在右子树中，接下来就是找右子树中第k-tot小的数 
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        b[i]=a[i];
        //一般数值范围都很大，直接按数值来建树会超空间，所以经常先进行离散化，然后再按离散化后的数组建树 
    }
    sort(b+1,b+1+n);//排序 
    int len=unique(b+1,b+1+n)-b-1;//去重 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int pos=lower_bound(b+1,b+1+len,a[i])-b;//a[i]在b数组中的位置 
        root[i]=update(root[i-1],1,len,pos);//建第i棵线段树，第pos个数出现次数加加 
    }
    int l,r,k;
    while(m--)
    {
        cin>>l>>r>>k;
        cout<<b[query(root[l-1],root[r],1,len,k)]<<endl;
        /*查询第k小，利用第r棵树和第l-1棵树来找，注意query返回的是b数组中的位置
        从两棵树的根开始递归查，若左儿子满足则往左儿子递归否则往右儿子递归 
        */ 
    }
    return 0;
}

 

 

　　对于主席树的空间大小，一般为O(nlogn)（不带修改），一般情况下开个40倍就够了。