[知识点]主席树入门 区间k值

Posted 2020-10-09

入坑主席树主要是因为昨天考试的后两道题不可改2333 而且觉得这个还挺有用，于是果断入坑

不过蒟蒻的我只是在上午看了看大概思路，下午开的运动会没时间码，于是晚上码了出来。但是目前只会无修改的区间K值问题，加上又比较抽象，思路屡了半天才刚刚醒悟，于是写下来记录一下。

不扯那么多辣鸡套路，直接说思路打法（以k小值为例）：

我们先要以权值建一颗线段树，然后每个节点记录的是这个节点管辖的范围内数列中数的个数。

我们需要建好多好多线段树。简单来讲呢，就是[1,1]，[1,2]···[1,n]这么多颗，每棵树都是[1,i]按权值建树。

我们要求区间[L,R]中第k小的数，假设我们知道[1,L-1]之间有多少个数比第k小的数小，那么我们只要减去这些数之后在[1, R]区间内第k小的数即是[l, R]区间内的第k小数。

更确切的说，我们要求[L,R]区间内的第k小数  可以 用以[1, R]建立的线段树去减去以[1, L-1] 建立的线段树。（两棵树必须是同构的）

好了现在我们搞到了区间[L,R]这一段对应的线段树，那么我们怎么找k值呢？

若左子树大于k，那么很显然第k小的数在左子树中；若左子树小于k，那么第k小的数在右子树中。

我们来举一个例子：序列  1 2 5 1 3 2 2 5 1 2

我们要求 [5,10]第5小的数

(红色的为个数)

我们建立的[1, l-1] (也就是[1, 4])之间的树为

[1, r]也就是[1, 10]的树为

两树相减得到

我们来找第5小的数：

发现左子树为5  所以第5小的数在左边， 再往下(左4右1) 发现左边小于5了 ，所以第5小的数在右边 所以第5小的数就是3了

同样的，我们只要建立[1, i] (i是1到n之间的所有值)的所有树，每当询问[l, r]的时候，只要用[1, r]的树减去[1, l-1]的树，再找第k小就好啦

但是，有一个问题发现没有？开这么多树是要炸啊？？

我们发现，[1,i]和[1,i+1]所建的线段树只是加了一个a[i]罢了，它们改变的只有a[i]那一条链，其他的是可以共用的！

所以就可以这么搞了。但是还是有一个问题：我们按权值建树的话也可能会炸的，所以我们需要离散

我们每次抻出来一个新根节点，加入一下a[i]离散后的值。

我们注意上一个例子，我们找到符合要求的之后，可以直接返回下标3，因为我们是按权值建的树。但是这次我们是按离散之后建的树

所以我们返回的下标 i 是在离散之后排名为 i 的数，我们要返回它原来的值。

不够这里需要注意一下：如果你离散去重了，那么最后返回排名为 i 的数也一定是去重之后的排名为 i 的数

 

上例题  cogs930  [河南省队2012] 找第k小的数

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define pos(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define N 101000
#include<vector> 
#include<algorithm>
int n,m;
int a[N];
vector<int> b;
int find(int x){
	return lower_bound(b.begin(),b.end(),x)-b.begin()+1;
}
struct haha{
	int lc,rc,num;
}tree[N*20];
int root[N],t;
void build(int num,int &x,int l,int r){
	tree[++t]=tree[x];
	x=t;
	++tree[x].num;
	if(l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(num<=mid) build(num,tree[x].lc,l,mid);
	else build(num,tree[x].rc,mid+1,r);
}
int query(int i,int j,int k,int l,int r){
	if(l==r) return l;
	int cnt=tree[tree[j].lc].num-tree[tree[i].lc].num;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(k<=cnt) return query(tree[i].lc,tree[j].lc,k,l,mid);
	else return query(tree[i].rc,tree[j].rc,k-cnt,mid+1,r);
}
int main(){
	//freopen("kthnumber.in","r",stdin);
    //freopen("kthnumber.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	pos(i,1,n){
		scanf("%d",&a[i]);
		b.push_back(a[i]);
	} 
	sort(b.begin(),b.end());
	b.erase(unique(b.begin(),b.end()),b.end());
	tree[0].lc=tree[0].rc=tree[0].num=0;
	pos(i,1,n){
		root[i]=root[i-1];
		build(find(a[i]),root[i],1,n);
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	unique(a+1,a+n+1);
	pos(i,1,m){
		int l,r,k;scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
		printf("%d\\n",a[query(root[l-1],root[r],k,1,n)]);
	}
	return 0;
}