2.感知机

Posted 2021-03-13 xutianlun

1. 感知机模型

输入为实例的特征向量， 输出为实例的类别， 取+1和-1；感知机对应于输入空间中将实例划分为正负两类的分离超平面， 属于判别模型；导入基于误分类的损失函数；利用梯度下降法对损失函数进行极小化；感知机学习算法具有简单而易于实现的优点， 分为原始形式和对偶形式；1957年由Rosenblatt提出， 是神经网络与支持向量机的基础。定义：假设输入空间（特征空间） 是x⊆Rn， 输出空间是 Y＝{+1,-1}。输入x?x表示实例的特征向量， 对应于输入空间（特征空间） 的点； 输出y? Y表示实例的类别。 由输入空间到输出空间的如下函数：

称为感知机。其中， w和b为感知机模型参数， w?Rn叫作权值（weight） 或权值向量（weight vector） ， b?R叫作偏置（bias） ， w·x表示w和x的内积。 sign是符号函数， 即。

感知机几何解释：
线性方程：

对应于超平面S， w为法向量， b截距， 分离正、 负类：
分离超平面：

2. 感知机学习策略
如何定义损失函数？
自然选择： 误分类点的数目， 但损失函数不是w,b 连续可导， 不宜优化。
另一选择： 误分类点到超平面的总距离。
距离：

误分类点：

误分类点距离： ：

假设超平面S的误分类点集合为M， 那么所有误分类点到超平面S的总距离为：

不考虑， 就得到感知机学习的损失函数。给定训练数据集

其中， xi?x＝Rn， yi? Y＝{+1,-1}， i＝1,2,…,N。 感知机sign(w·x+b)学习的损失函数定义为

其中M为误分类点的集合。 这个损失函数就是感知机学习的经验风险函数。

3. 感知机学习算法
 
求解最优化问题：

随机梯度下降法，
首先任意选择一个超平面， w， b， 然后不断极小化目标函数,损失函数L的梯度：

选取误分：

 

感知机学习算法的原始形式
输入： 训练数据集T＝{(x1， y1),(x2,y2),…,(xN,yN)}， 其中xi?x＝Rn， yi? ＝{-1,+1}， i＝1,2,…,N； 学习率 (0< ≤1)；
输出： w,b； 感知机模型f(x)＝sign(w·x+b)。
（1） 选取初值w0,b0
（2） 在训练集中选取数据(xi， yi)
（3） 如果yi(w·xi+b)≤0：

（4） 转至（2） ， 直至训练集中没有误分类点。

这个可以说是最简单的感知机算法了，下面是用随机梯度下降实现的代码：

# 数据线性可分，二分类数据
# 此处为一元一次线性方程
class Model:
    def __init__(self):
        self.w = np.ones(len(data[0])-1, dtype=np.float32)
        self.b = 0
        self.l_rate = 0.1
        # self.data = data
    
    def sign(self, x, w, b):
        y = np.dot(x, w) + b
        return y
    
    # 随机梯度下降法
    def fit(self, X_train, y_train):
        is_wrong = False
        while not is_wrong:
            wrong_count = 0
            for d in range(len(X_train)):
                X = X_train[d]
                y = y_train[d]
                if y * self.sign(X, self.w, self.b) <= 0:
                    self.w = self.w + self.l_rate*np.dot(y, X)
                    self.b = self.b + self.l_rate*y
                    wrong_count += 1
            if wrong_count == 0:
                is_wrong = True
        return ‘Perceptron Model!‘

其中data是你数据，是不是很简单。

感知机学习算法的对偶形式
输入： 线性可分的数据集T＝{(x1， y1),(x2， y2),…,(xN,yN)}， 其中xi?Rn， yi?{-1,+1}， i＝1,2,…,N； 学习率 （0<≤1）；

输出： a,b； 感知机模型

其中a＝(a1,a2,…,aN)T 。
（1） a←0， b←0
（2） 在训练集中选取数据(xi， yi)
（3） 如果,则

（4） 转至（2） 直到没有误分类数据。