感知机(perceptron)原理总结
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了感知机(perceptron)原理总结相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
1. 感知机原理
感知机是二分类的线性分类模型,本质上想找到一条直线或者分离超平面对数据进行线性划分
- 适用于线性可分的数据集,否则感知机不会收敛
假设有一个数据集(D = {(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_N, y_N)}),其中(x_i in R^n),即(x_i = (x_i^{(1)}, x_i^{(2)}, ...x_i^{(n)}))
- 模型的输入为实例的特征向量(x_i),输出为实例的类别,取值为+1(正例)或者-1(负例)
- 我们希望找到一个分离超平面(w^Tx + b = 0,其中w in R^n),使得有满足(w^Tx + b > 0)的实例所对应的类别为正例。而使得满足(w^Tx + b < 0)的实例所对应的类别为负例。
于是我们可以构建出感知机模型为:(f(x) = sign(w^Tx + b))
2. 损失函数
定义损失函数一个很自然的想法是建立在误分类点的个数上,但是使用误分类点的个数来构造损失函数并不容易优化
- 因此使用误分类点到分离超平面的总距离来构造损失函数
记M为误分类点的集合,误分类点到分离超平面的总距离为:
不考虑(frac{1}{parallel w parallel})(因为上式中,分子和分母有固定倍数的关系),并且去掉绝对值,就可以得到感知机的损失函数为:
此时对于误分类点,(-y_i (w^Tx_i + b) > 0)成立
3. 优化方法
此时感知机算法就转变为,求解参数(w, b),使得损失函数极小化,即
因为只有对误分类点才会对损失函数进行优化,因此感知机的优化采用随机梯度下降法(SGD),而非使用所有样本的批量随机梯度下降法(BGD)
损失函数(L(w, b))的梯度为:
对于SGD,选取一个误分类点进行更新,即有:
4. 感知机的原始算法
训练集包括N个样例,样本中包含n个特征,标记为二分类取值为-1或者+1
- 输入的样例:({(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_N, y_N)}),学习率:(alpha)
- 输出分离超平面的系数w, b
算法执行步骤如下:
- 初始化w, b以及学习率(alpha)
- 在训练集选取数据((x_i, y_i))
- 如果满足(-y_i(sign(w^Tx_i + b)) > 0),则
- 转至2,直到训练集中没有误分类点
5. 感知机的对偶算法
对偶形式的基本想法是,将(w)和(b)表示为实例(x_i)和标记(y_i)的线性组合的形式,通过求解它的系数来求解(w)和(b)
假设初始值(w_0)和(b_0)都为0,因此(w)和(b)可以表示成(x_iy_i)和(y_i)的增量形式,即原始形式可以化成:
其中,(eta_i = n_i alpha),(n_i)表示第(i)个实例(x_i)更新的次数
此时,模型转变为
训练集包括N个样例,样本中包含n个特征,标记为二分类取值为-1或者+1
- 输入的样例:({(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_N, y_N)}),学习率:(alpha)
- 输出分离超平面的系数(eta), b
算法执行步骤如下:
- 初始化(eta), b以及学习率(alpha)
- 在训练集选取数据((x_i, y_i))
- 如果满足(y_i(sign(sum_{j=1}^N eta_j y_j x_j x_i + b)) <= 0),则
- 转至2,直到训练集中没有误分类点
其中,训练实例可以通过计算Gram矩阵(即(x_i)和(x_j)的内积组成的矩阵)的形式来存储
6. 从图形中理解感知机的原始算法
为了方便说明,记(hat w = (w, b)),(hat x = (x, 1)),则感知机模型可以变为:
之前我们说明了,只有误分类点才会对(hat w)进行更新。因此,考虑以下两种情况:
-
真实类别为y=+1, 但是模型的输出为-1
- 考虑到(hat w^T hat x = |hat w||hat x|cos heta)
- 对于真实类别,我们希望说明(hat w^T hat x > 0),即(hat w)和(hat x)的夹角越小越好,而模型的输出有(hat w^T hat x < 0),则说明(hat w)和(hat x)的夹角过大
- 因此,我们可以通过减少(hat w)和(hat x)的夹角来达到目的,即有(hat w(t+1) = hat w(t) + hat x(t))(对应着(w_{t+1} = w_t + alpha y_i x_i),且(alpha = 1)的情况)
- (y_i hat w_{t+1}^T hat x_i = y_i hat w_t^T hat x_i + y_i parallel hat x_i parallel geq y_i hat w_t^T hat x_i)
-
真实类别为y=-1, 但是模型的输出为+1
- 考虑到(hat w^T hat x = |hat w||hat x|cos heta)
- 对于真实类别,我们希望说明(hat w^T hat x < 0),即(hat w)和(hat x)的夹角越大越好,而模型的输出有(hat w^T hat x > 0),则说明(hat w)和(hat x)的夹角过小
- 因此,我们可以通过增大(hat w)和(hat x)的夹角来达到目的,即有(hat w(t+1) = hat w(t) - hat x(t))(对应着(w_{t+1} = w_t - alpha y_i x_i),且(alpha) = 1的情况)
- (y_i hat w_{t+1}^T hat x_i = y_i hat w_t^T hat x_i - y_i parallel hat x_i parallel = y_i hat w_t^T hat x_i + parallel hat x_i parallel geq y_i hat w_t^T hat x_i)
其实,无论对于误分类的情况1还是情况2,总有(y_i hat w_{t+1}^T hat x_i = geq y_i hat w_t^T hat x_i),因为(y_i hat w_t^T hat x_i)的符号代表是否分类正确,大小代表分类超平面是否将其“分得很开”,上面的不等式说明了,对于某个误分类点来说,更新后要比更新前要好,算法PLA对该误分类点“学习”了。
7. 感知机算法(PLA)的收敛性
对于线性可分的数据集,总能找到一个或者多个分类超平面能将该数据集划分,这表明了PLA的收敛性。
- 这部分主要参考林轩田的《机器学习基石》,个人觉得讲得要比李航的《统计学习方法》要清晰,虽然证明本质上是一样的
说明两个向量的相似性有很多方法,其中计算两个向量的内积是一种方法。当内积越大,表明两个向量越相似。当然,这需要考虑向量的长度,当模长越大时,向量的内积也会越来越大。
- 符号说明:(w_f)代表真实的w,(w_t)代表我们找到的w,这里为了符号简洁些,不记成(hat w),但是含义一样,即(w_f)和(w_t)里面包含(b),记学习率(alpha = 1)
-
先讨论(w_f)和(w_t)的内积,(w_0)为0向量
egin{equation}
egin{split}
w_f^T w_t & = w_f^T(w_{t-1} + y_ix_i) \\
& = w_f^T w_{t-1} + y_i w_f^T x_i \\
& geq w_f w_{t-1} + underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i) \\
& geq w_f w_0 + t underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i) \\
& = t underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i)
end{split}
end{equation} -
讨论(w_f)和(w_t)的模长,由于只有误分类点才更新,所以有(y_i w_{t}^T x_i leq 0)
egin{equation}
egin{split}
parallel w_t parallel^2 & = parallel w_{t-1} + y_ix_i parallel^2 \\
&= parallel w_{t-1} parallel^2 + 2y_i w_{t_1}^T x_i + parallel y_ix_i parallel^2 \\
& leq parallel w_{t-1} parallel^2 + parallel x_i parallel^2 \\
& leq parallel w_{t-1} parallel^2 + underset {i} {max} parallel x_i parallel^2 \\
& leq parallel w_{0} parallel^2 + t underset {i} {max} parallel x_i parallel^2 \\
& = t underset {i} {max} parallel x_i parallel^2
end{split}
end{equation} -
讨论(w_f)和(w_t)的角度
egin{equation}
egin{split}
1 geq cos heta = frac{w_f^T w_t}{parallel w_f parallel parallel w_t parallel} &
geq frac{t underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i)}{parallel w_f parallel sqrt{t underset {i} {max} parallel x_i parallel^2}} \\
& = frac{sqrt{t} underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i)}{parallel w_f parallel sqrt{underset {i} {max} parallel x_i parallel^2}}
end{split}
end{equation} -
化解得到t的关系式
其中,$$R^2 = underset {i} {max} parallel x_i parallel^2, ho = frac{underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i)}{parallel w_f parallel}$$
由上述不等式说明了,更新次数是有上限的,这也就证明了收敛性
8. 应用场景与缺陷
- 感知机仅限于数据线性可分的情况,对于线性不可分的情况,该算法不收敛。
- 感知机的收敛步数受两类别之间间隔的影响。间隔越小,收敛的步数越大。
9. 其他
从感知机的分类原理中,可以看出满足条件的超平面并不止一个,不同的超平面依赖于参数的初始值。也就是说感知机模型可以有多个解。
- 泛化能力最好的决策超平面
- 能够将两个类型的样本分开
- 能够最大化决策边界附近的两类型之间的距离
当然,感知机也是神经网络的重要基础,因此也可以从神经网络的角度来说明
10. 参考资料
- 李航《统计学习方法》
- 林轩田《机器学习基石》
以上是关于感知机(perceptron)原理总结的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
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