动态规划—多重背包

Posted 2021-03-11 hailin545

多重背包类似于完全背包，只是每个物品可以选取的数目已经告诉我们了，做题的思路和完全背包几乎一样。

对于二维数组的做法，我们只要对k多做一个k<=c[i]的限制即可，c[i]是第i件物品最多能选用的次数。

看题：

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急！灾区的食物依然短缺！
为了挽救灾区同胞的生命，心系灾区同胞的你准备自己采购一些粮食支援灾区，现在假设你一共有资金n元，而市场有m种大米，每种大米都是袋装产品，其价格不等，并且只能整袋购买。
请问：你用有限的资金最多能采购多少公斤粮食呢？

后记：
人生是一个充满了变数的生命过程，天灾、人祸、病痛是我们生命历程中不可预知的威胁。
月有阴晴圆缺，人有旦夕祸福，未来对于我们而言是一个未知数。那么，我们要做的就应该是珍惜现在，感恩生活——
感谢父母，他们给予我们生命，抚养我们成人；
感谢老师，他们授给我们知识，教我们做人
感谢朋友，他们让我们感受到世界的温暖；
感谢对手，他们令我们不断进取、努力。
同样，我们也要感谢痛苦与艰辛带给我们的财富～

Input输入数据首先包含一个正整数C，表示有C组测试用例，每组测试用例的第一行是两个整数n和m(1<=n<=100, 1<=m<=100),分别表示经费的金额和大米的种类，然后是m行数据，每行包含3个数p，h和c(1<=p<=20,1<=h<=200,1<=c<=20)，分别表示每袋的价格、每袋的重量以及对应种类大米的袋数。Output对于每组测试数据，请输出能够购买大米的最多重量，你可以假设经费买不光所有的大米，并且经费你可以不用完。每个实例的输出占一行。

Sample Input

1
8 2
2 100 4
4 100 2

Sample Output

400

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代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 int t,n,m,p[101],h[101],c[101],dp[101][101];
 6 int main()
 7 {
 8   cin>>t;
 9   while(t--)
10   {
11     memset(dp,0,sizeof(dp));
12     cin>>n>>m;
13     for(int i=1;i<=m;i++)cin>>p[i]>>h[i]>>c[i];//多了个c[i]，物品的数量
14     for(int i=1;i<=m;i++)
15     {
16       for(int j=1;j<=n;j++)
17       {
18         for(int k=0;k<=c[i]&&k*p[i]<=j;k++)//除了这里，其他和完全背包一样
19         dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*p[i]]+k*h[i]);
20       }
21     }
22     cout<<dp[m][n]<<endl;
23   }
24 }

 

这里的数据比较小，所以用这种朴素的解法可以过，时间复杂度是O(nmk)，但是数据大的话，就力不从心了。

多重背包的优化方法主要有两种： 二进制拆分和单调队列，我是看这位大佬的博客学会的，推荐一下：https://www.cnblogs.com/-guz/p/9866118.html

这里贴一下ac代码，方便复习：

二进制拆分：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 using namespace std;
 4 int p[507],h[507],c[507],dp[101],n,m,t,P,H,C;
 5 int main()
 6 {
 7   cin>>t;
 8   while(t--)
 9   {
10     cin>>n>>m;
11     int cnt=0;
12     for(int i=1;i<=m;i++)
13     {
14       cin>>P>>H>>C;
15       for(int j=1;j<=C;j<<=1)//边输入边二进制拆分
16       {
17         C-=j;
18         p[++cnt]=j*P;
19         h[cnt]=j*H;
20       }
21       if(C)
22       {
23         p[++cnt]=C*P;
24         h[cnt]=C*H;
25       }
26     }
27     memset(dp,0,sizeof(dp));
28     for(int i=1;i<=cnt;i++)//下面就是一维数组的01背包了
29     {
30       for(int j=n;j>=p[i];j--)
31       {
32         dp[j]=max(dp[j],dp[j-p[i]]+h[i]);
33       }
34     }
35     cout<<dp[n]<<endl;
36   }
37 }

 单调队列优化比较复杂，等我搞懂再来写吧( •? ω •? )y