Treap总结（未完工）

Posted 2021-03-11 mcggvc

(Treap = Tree + Heap)

树堆（Treap），在数据结构中也称Treap，是指有一个随机附加域满足堆的性质的二叉搜索树，其结构相当于以随机数据插入的二叉搜索树。其基本操作的期望时间复杂度为O(logn)。相对于其他的平衡二叉搜索树，Treap的特点是实现简单，且能基本实现随机平衡的结构。
                                                                                        ----百度百科

要了解Treap，就先要看看什么是二叉搜索树

二叉查找树（Binary Search Tree），（又：二叉搜索树，二叉排序树）它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树： 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

Treap既有BST的性质，也有堆的性质，Treap的每个结点额外附加一个随机值（优先级），让他们按照关键码构成BST的同时也满足堆的性质（父节点优先级高于或低于子节点优先级），因为优先级是随机的，这样在绝大多数情况下我们得到的树都是平衡的，不容易被卡成链， 单次操作期望时间复杂度为O(logn)。

操作：

1.定义

struct Treap {
    int dat, val; 
    int cnt, size, l, r;
} e[N];

dat 随机优先级； val BST关键码； cnt 当前结点数量； size 子树结点数量； l，r 左右儿子。
2.更新

void update(int p) {
    e[p].size = e[e[p].l].size + e[e[p].r].size + e[p].cnt;
}

更新结点size值。
3.新建结点

int newpoint(int val) {
    e[++tot].val = val;
    e[tot].dat = rand();
    e[tot].cnt = e[tot].size = 1;
    return tot;
}

4.建树

void build() {
    newpoint(-inf); newpoint(inf);
    root = 1; e[root].r = 2; update(root);
}

初始化两个结点，设置为无限大和无限小。
5.左右旋转
左右旋转是在保证BST性质前提下（中序遍历不变）将一个结点向上或者向下转，实质上是父节点变成了子节点，子节点变成了父节点。
左旋和右旋分别对应着将左儿子翻上来和将右儿子翻上来。

具体操作

void zig(int &p) {//左旋
    int q = e[p].l;
    e[p].l = e[q].r; e[q].r = p; p = q;
    update(e[p].r); update(p);
}
void zag(int &p) {//右旋
    int q = e[p].r;
    e[p].r = e[q].l; e[q].l = p; p = q;
    update(e[p].l); update(p);
}
//p引用的是旋转前的根结点

6.插入
插入一个值为val的结点，若存在关键码为val的结点，将此结点数量 + 1，若不存在，根据val大小和当前结点val大小向左右两边找，最后新建结点，返回时要维护堆性质。

void insert(int &p, int val) {
    if(p == 0) {
        p = newpoint(val); return ;
    }
    if(e[p].val == val) {
        e[p].cnt++; update(p);
        return ;
    }
    if(val < e[p].val) {
        insert(e[p].l, val);
        if(e[p].dat < e[e[p].l].dat) zig(p);
    } else {
        insert(e[p].r, val);
        if(e[p].dat < e[e[p].r].dat) zag(p);
    }
    update(p);
}

7.删除结点
删除一个值为法val的结点，先在树中查找值为val的结点：
1.若结点cnt(数量) 大于1，则可以直接减1，返回；
2.若结点数量为1，将其向下旋转，转到叶结点时直接删除；
注意：在向下旋转时应维护堆的性质，若是大根队，选取子节点中dat大的结点与其交换。

void delet(int &p, int val) {
    if(p == 0) return ;
    if(val == e[p].val) {
        if(e[p].cnt > 1) {
            e[p].cnt--; update(p); return ;
        } else {
            if(e[p].l || e[p].r) {//不为叶结点
                if(e[e[p].l].dat > e[e[p].r].dat || !e[p].r) 
                    zig(p), delet(e[p].r, val);
                else 
                    zag(p), delet(e[p].l, val);
                update(p);
            } else p = 0;
        }//else
        return ;
    }
    if(val < e[p].val) delet(e[p].l, val);  
    else delet(e[p].r, val);
    update(p);
}