非旋Treap总结 ： 快过Splay 好用过传统Treap

Posted 2021-01-30 rockyyh

非旋$Treap$

其高级名字叫$Fhq Treap$，既然叫$Treap$，它一定满足了$Treap$的性质（虽然可能来看这篇的人一定知道$Treap$，但我还是多说几句：$Fhp Treap$就是继承了$Treap$的随机系统，在二叉搜索的基础上，每个点加一个随机化处理，这些随机值满足堆的性质……通俗一点讲，就是$Fhp Treap$它每个点有至少两个值，一个是val，即存的数值，这些数值满足二叉搜索树，也就是父亲比左孩子小/大，则右孩子比父亲小/大；还有一个是key，是个随机值，这些随机值满足堆的性质，即父亲比两个孩子都大/小），好了$Fhp Treap$和$Treap$的关系到此结束。但是，$Fhp Treap$还和左偏树、笛卡尔树，用到了笛卡尔树的建树、左偏树的合并，这使得它不用像$Treap$一样旋转即可做到上述树的性质。

以上都是废话，下面进入正题               PS：本文以大根堆来维持$key$值（第一遍）

 

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$Fhq Treap$要维护的值

既然叫$Treap$，就有$Treap$要有的随机值$Key$，还有和其他平衡树一样，要左孩子$l$，右孩子$r$，节点的值$val$和子树大小$siz$、子树节点权值和$sum$。必要的话，还有翻转标记和区间标记。对于作者本人为什么不记录它的$father$，我觉得好像$father$在几个操作中用处不大，好多题似乎没怎么用到$father$这一变量（可以看下面的代码，其实没有$father$就可以做很多操作），不过有$father$确实是一个好习惯。（如有大神指出不对，或者知道哪些$Fhp Treap$要用的$father$的地方，一定要跟我讲啊！！！）

当然，我们还要记录当前整棵树的根$rt$和节点编号$cnt$

int rt,cnt;
struct Tree
{
    int l,r,siz,sum,val,key;
    int lazychange;
    bool flagchange,flagreverse;
}t[MAXN];

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两个重要操作

可以说，在非旋$Treap$中，最核心的只有两个：Merge（合并）和Split（分裂），$Fhq Treap$就是用这两个操作打遍天下。

$Split$ 分裂操作

非旋$Treap$有两种分裂操作

一种是按$val$值进行$Split$ （一般用于找该$val$值在树中的位置、$Rank$值等）：即分裂后$A$中的叶子节点都比给定的$Val$小（小于等于），$B$中则均大于等于（大于）$Val$。

还有一种则是按个数$Split$（一般用于找第$K$大、区间权值等）：即分裂后$A$子树的大小为给定的$Size$，而$B$则为$A$的补集。

其实两种差别不大，我们先看第一种：

（1）按$Val Split$

一般$Split$有四个参数，$Now$表示我们现在在搜的子树的根，$W$为给定的标准$val$，还有就是$u, v$ 表示$Split$以$Now$为根的子树后得到的两棵树。（$u$符合条件，$v$不符合）

1、如果这棵树为空集，则 $Split$后两棵树也为空，$u = v = 0$

2、因为以$W$为界，我们只要把$Now$的$val$和$W$比较一下即可，若$Val_Now <= W$ （有些情况为$Val_Now < W$ ），则$Now$满足标准。因为为二叉搜索树，所以$Now$的左孩子$Val$都小于自己，也必满足条件，所以我们可以直接把$Now$和它的左孩子$Split$出来变成一个新的树$u$，此时，我们只要继续做$Now$的右孩子，而前面$Split$出的$u$的右孩子就是$Now$的右孩子$Split$出的满足条件的树，不符合就为$v$的孩子；若$Val_Now >= W$ （有些情况为$Val_Now > W$ ），则$Now$不满足条件，同理$Now$的右孩子也不满足条件，所以我们可以直接把$Now$和它的右孩子$Split$出来变成一个新的树$v$，此时，我们只要继续做$Now$的左孩子，而$Now$新的左孩子就是$Now$的左孩子$Split$出的不满足条件的树$v$，满足则为$u$树的孩子。

 

大概过程就是这样，不过因为本人语文不太好，听懂的人应该不多……看代码吧……

inline void Split(int Now,int W,int &u,int &v) // now现在搜的根 以w为界分为以u为根的树和v为根的树（本程序为u中所有节点的val小于等于w）
{
    if(!Now) u = v = 0;
    else
    {
        pushdown(Now);//如果必要时要先下传标记
        if(t[Now].val <= W) u = Now,Split(t[Now].r,W,t[Now].r,v);
        else v = Now,Split(t[Now].l,W,u,t[Now].l);
        update(Now);//最后更新该根的信息
    }
}     

用$&$符号来方便直接将后面的接到前面的左或右孩子上；

（2）按个数来$Split$

和上面的方法一样，只是我们把$W$改成了$Size$

1、和上面一样如果这棵树为空集，则 $Split$后两棵树也为空，$u = v = 0$

2、以$Siz$为界，则只要比较$Now$左孩子的$siz_NowLeft$和$Siz$即可，若$siz_L >= Siz$，则$Now$必不符合条件，不然要有其左孩子，$Size$必要大于标准，所以只要搜$Now$的左孩子，$Split Now$和它的右孩子变为$v$即可，其他同上；反之若$siz_L < Siz$， 则加上$Now$必有$siz_L + 1 <= Siz$，所以$Split Now$和它的左孩子变为$u$即可

inline void Split(int now,int siz,int &u,int &v)//now现在搜的根 以siz为界 Split后的树的根为u，v（即子树u的大小为siz）
{
    if(!now) u = v = 0;
    else
    {
        pushdown(now);
        if(t[t[now].l].siz >= siz) v = now,Split(t[now].l,siz,u,t[now].l);
        else u = now,Split(t[now].r,siz-t[t[now].l].siz-1,t[now].r,v);
        update(now);
    }
}

 

$Merge$ 合并操作

一般$Fhq Treap$的操作都是先$Split$再$Merge$之后的，$Split$使其$val$值以满足二叉搜索树（即树$A$所有的$val$值都比$B$中的小），所以只要处理它们的$Key$值，即堆的性质就好了

所以$Fhq Treap$的合并和左偏树的合并非常相似，唯一不同的就是不能$swap$左右孩子，$swap$了那你前面的$Split$使$val$满足二叉搜索树的就全白忙了……

合并的时候，我们传进两棵树的根$u$和$v$

1、有一棵树为空 ：直接返回另一棵树

2、合并两棵树：

因为$val$值已在$Merge$中满足的前一棵树的$val$值都比后一棵树的小，所以我们只要按照$Key$值合并。若$u$的$Key$值比$v$的大，因为本文以大根堆来维持$key$值（第二遍），所以新的树一定以$u$为根，定下了根，根据二叉搜索树的性质左边比根小右边比根大，而以$v$为根的子树$val$均大于以$u$为根的树，所以以$v$为根的子树只能接到新的根$u$的右孩子，即$v$和$R_u$进行$Merge$变为新的$R_u$，而左孩子就是原来$u$的左孩子；反之若$u$的$Key$值比$v$的小，因为本文以大根堆来维持$key$值（第三遍），所以新的树一定以$v$为根，同理根据二叉搜索树的性质左边比根小右边比根大，而以$u$为根的子树$val$均小于以$v$为根的树，所以以$v$为根的子树必接到新根$v$的左孩子，即$u$和$L_v$进行$Merge$变为新的$L_v$，右孩子就是原来$v$的右孩子。

最后，更新一下新的树根$u$或$v$并返回新得到的树的根节点即可。

 

（怕是还是没太懂）看代码吧……

inline int Merge(int u,int v)
{
    if(!u||!v) return u + v;
    pushdown(u),pushdown(v);
    if(t[u].key < t[v].key)
    {
        t[v].l = Merge(u,t[v].l);
        return update(v),v;
    }
    else
    {
        t[u].r = Merge(t[u].r,v);
        return update(u),u;
    }
}

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以上就是$Fhq Treap$的两个最重要的操作，接下来来看几个必要的操作：

$Build$建树

$Fhq Treap$建树和笛卡尔树差不多。

为了保证$Fhq Treap$的中序遍历是原数列（或为$val$值递增$/$减），我们可以把它变成一条链！！！没错吧，建树完成了，但显然不优秀，所以就有了$Key$值的随机化。

没有学过笛卡尔树的看这里

首先我们用栈来存我们要做的点， 我们按顺序弹入一个点，因为保证了在它前面的点（即在栈中的点）中序遍历一定在它前面，所以它只能认左孩子或父亲，而且只能根据$Key$值来认。

本文以大根堆来维持$key$值（第四遍）我们先取出栈顶的点，如果栈顶的$Key$值大于该插入的点的值，那么我们直接把该点接在栈顶的右孩子处，当然此时它可能已经有一个右孩子了，很明显原来的右孩子中序遍历也该在应插入点的前面，那我们就把栈顶的右孩子变为它的左孩子，在将其接在栈顶的右孩子处；反之如果栈顶的$Key$值小于等于该插入的点的值 那么它就应该变为该点的左孩子，我们只要弹出栈顶的点，然后继续找到第一个比该插入的点$Key$值大的点即可；当然，万一它是最大的，那我们只要把原栈底的点接在它的左孩子处即可。

这样一来，栈底的点一定是$Key$值最大的点了，也就是这颗树的根啦！

（相信大家还是没看懂，其实你可以手动模拟一遍，在加上以下的代码，相信一定可以懂）

inline void build()
{
    int stc[MAXN],sl = 0;//用栈来存当前未做的节点
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        int at = MakeNew(a[i]);//建一个新点
        while(sl&&t[stc[sl]].key < t[at].key) update(stc[sl]),sl--;//比该点小的弹出作为该点的孩子
        if(sl) t[at].l = t[stc[sl]].r,t[stc[sl]].r = at;//更改它父亲和右孩子
        else t[at].l = stc[1];//原栈顶接在该节点的左边
        stc[++sl] = at;//进栈
    }
    while(sl) update(stc[sl]),sl--;//未出栈的出栈并update
    rt = stc[1];//设置根节点
}

 $Insert$ 插入

先说插入一个点，首先，我们前面说过，有按权值的还有按大小的：

（1）按权值插入：

我们只要找到比它小的数，插到它们的后面。$Split$出比它小（小于等于也行）的即可。

inline void Insert(int u)
{
    int x,y;
    Split(rt,u,x,y);
    rt = Merge(Merge(x,MakeNew(u)),y);
}

（2）按大小插入

其实和上面的一样，只是把$Split$改一下即可

 

当然呢，插入一堆点嘞，就把那些点建成一棵树，然后当成一个点来插就好啦！

 $Makedown$建一个新点

突然忘了怎么建点，但我觉得问题不大

inline int MakeNew(int val)
{
    t[++cnt].val = val,t[cnt].key = rand() * rand(),t[cnt].siz = 1;
    return cnt;
}

$Kth$找到第$K$大

inline int Kth(int now,int sum)
{
    while(1)
        if(sum <= t[t[now].l].siz) now = t[now].l;
        else if(sum == t[t[now].l].siz + 1) return now;
        else sum-=t[t[now].l].siz + 1,now = t[now].r;
}

 

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以下是P3369 【模板】普通平衡树的代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
    int s = 0,w = 1;char ch = getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch == ‘-‘)w=-1;ch = getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){s = (s << 1) + (s << 3) + ch - ‘0‘;ch = getchar();}
    return s * w;
}
int rt,cnt;
struct Tree
{
    int l,r,val,key,siz;
}t[110000];
inline int MakeNew(int val)
{
    t[++cnt].val = val,t[cnt].key = rand() * rand(),t[cnt].siz = 1;
    return cnt;
}
inline void Split(int now,int w,int &u,int &v) // now???????? ??val???????u?????????v???????
{
    if(!now) u = v = 0;
    else
    {
        if(t[now].val <= w) u = now,Split(t[now].r,w,t[now].r,v);
        else v = now,Split(t[now].l,w,u,t[now].l);
        t[now].siz = t[t[now].r].siz + t[t[now].l].siz + 1;
    }
}
inline int Merge(int u,int v)
{
    if(!u||!v) return u + v;
    if(t[u].key < t[v].key)
    {
        t[u].r = Merge(t[u].r,v);
        t[u].siz = t[t[u].r].siz + t[t[u].l].siz + 1;
        return u;
    }
    else 
    {
        t[v].l = Merge(u,t[v].l);
        t[v].siz = t[t[v].r].siz + t[t[v].l].siz + 1;
        return v;
    }
}
inline int Kth(int now,int sum)
{
    while(1)
        if(sum <= t[t[now].l].siz) now = t[now].l;
        else if(sum == t[t[now].l].siz + 1) return now;
        else sum-=t[t[now].l].siz + 1,now = t[now].r;
}
int main()
{
    int n = read(),x,y,z,opt,a;
    srand(20040328);
    while(n--)
    {
        opt = read();a = read();
        if(opt == 1)
        {
            Split(rt,a,x,y);
            rt = Merge(Merge(x,MakeNew(a)),y);
        }
        else if(opt == 2)
        {
            Split(rt,a,x,z);
            Split(x,a-1,x,y);
            y = Merge(t[y].l,t[y].r);
            rt = Merge(Merge(x,y),z);
        }
        else if(opt == 3)
        {
            Split(rt,a-1,x,y);
            printf("%d
",t[x].siz + 1);
            rt = Merge(x,y);
        }
        else if(opt == 4) printf("%d
",t[Kth(rt,a)].val);
        else if(opt == 5)
        {
            Split(rt,a-1,x,y);
            printf("%d
",t[Kth(x,t[x].siz)].val);
            rt = Merge(x,y);
        }
        else if(opt == 6)
        {
            Split(rt,a,x,y);
            printf("%d
",t[Kth(y,1)].val);
            rt = Merge(x,y);
        }
    }
    return 0;
}

有锅会继续补……

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