森林生成树计数
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了森林生成树计数相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
给定 (n) 个点 (k) 棵树的森林，第 (i) 棵树的大小为 (s_i)，要求加入 (k-1) 条边，使之连通，求方案数。
设第 (i) 棵树的度数为 (d_i)，则对于给定 (d_1,d_2,cdots,d_k)，根据 prufer 序列，进行可重集排列
[
egin{pmatrix}
k - 2d_1-1,d_2-1,cdots,d_k-1
end{pmatrix}=
frac{(k-2)!}{prod_i(d_i-1)!}
]
又每棵树的连接方式有 (s_i^{d_i}) 种，有
[
egin{pmatrix}
k - 2d_1-1,d_2-1,cdots,d_k-1
end{pmatrix}
prod_{i}s_i^{d_i}
]
现在枚举 ({d_i})，可得
[
Cnt=
sum_{substack{sum_{i=1}^kd_i=2k-2\d_ige 1}}
egin{pmatrix}
k - 2d_1-1,d_2-1,cdots,d_k-1
end{pmatrix}
prod_{i}s_i^{d_i}
]
又因为多元二项式定理
[
(sum_{i=1}^nx_i)^p=
sum_{substack{sum_{i=1}^nc_i=p\c_ige 1}}
egin{pmatrix}
pc_1,c_2,cdots,c_n
end{pmatrix}
prod_{i=1}^nx_i^{c_i}
]
可化简为
[
n^{k-2}prod_{i=1}^ks_i
]
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