数学文化题

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数学文化题相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

前言

典例剖析

例16我国古代数学名著《九章算术》中,有已知长方形的面积求一边的算法[少广算法],其方法的前两步如下。第一步:构造数列(1)(cfrac{1}{2})(cfrac{1}{3})(cfrac{1}{4})(cdots)(cfrac{1}{n}①),第二步:将数列①的各项乘以(cfrac{n}{2}),得到一个新数列(a_1)(a_2)(a_3)(cdots)(a_n),则(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+cdots+a_{n-1}a_n)等于多少?

$A.cfrac{n^2}{4}$ $B.cfrac{(n-1)^2}{4}$ $C.cfrac{n(n-1)}{4}$ $D.cfrac{n(n+1)}{4}$

法1:以少御多,将无限项转化为有限项,再由多转少,这样便于思考和运算;可以假定(n=4),然后代入验证,选(C).

法2:写出新数列的通项公式(a_k=cfrac{1}{k}cdot cfrac{n}{2}),注意通项公式不是(a_n=cfrac{1}{n}cdot cfrac{n}{2})

这样求和的数列的通项公式就是

(kge 2)(a_{k-1}a_k=cfrac{n^2}{4}cfrac{1}{(k-1)k}=cfrac{n^2}{4}(cfrac{1}{k-1}-cfrac{1}{k}))

(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+cdots+a_{n-1}a_n)

(=cfrac{n^2}{4}[(1-cfrac{1}{2})+(cfrac{1}{2}-cfrac{1}{3})+(cfrac{1}{3}-cfrac{1}{4})+cdots+(cfrac{1}{k-1}-cfrac{1}{k})])

(=cfrac{n^2}{4}(1-cfrac{1}{n})=cfrac{n(n-1)}{4}).

例16【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第16题】中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”,半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,半正多面体体现了数学的对称美,图2是一个棱数为(48)的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为(1),则该半正多面体共有__________个面,其棱长为_____________。

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分析:半正多面体的制作过程,如下图所示;

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解析:如果我们将其看成是三层的,则每一层都有(8)个面,再外加上下两个面,故共有(3 imes 8+2=26)个面。

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如图所示,设棱长为(x),即(MN=NE=x),由( riangle EHN)为等腰直角三角形,

(NE=x),则可知(NH=cfrac{sqrt{2}}{2}x),又(MN+2NH=1)

(x+2 imes cfrac{sqrt{2}}{2}x=1),即((sqrt{2}+1)x=1),解得(x=sqrt{2}-1).

综上可知,此半正多面体共有(26)个面,棱长为(sqrt{2}-1)

【解后反思】

1、求其表面积;

2、求其体积;

3、求其内切球的半径;

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分析:由这个动画可以看出,该半正多面体没有内切球。

4、求其外接球的半径;
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外接球的半径可以借助下图来求解。

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5、古典概型中的几何体计数

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