网络流学习

Posted 2021-03-07 thedreammaker

1.最大流最小割定理
割的容量：所有割边中正向边的容量和
定理一:如果f是网络中的一个流，CUT(S,T)是任意一个割，那么f的值不超过割CUT(S,T)的容量。（任意割容量>=任意流流量）
感性理解，一个割上的边（包括正向边和反向边），f最接近割的容量的时候就是割上的所有边都是正向边，且全部跑满，其他情况不会优于这种情况，而这种情况下f=CUT(S,T)的容量。
那么，就有一个结论：如果有一个割等于流，那么这个割是最小割，流是最大流。
我们只需要提出一种可行的构造方案来找到这样的一个割即可。
定理二:对于一个流，如果它为最大流，那么，这时候网络中已经没有了增广路。
证明逆否命题，如果若G中存在增广路，则f不是最大流的流量，而根据增广路的定义，这是显然的。
PS：增广路：就是一条有向路径，路径上各点剩余容量>0,当没有增广路时，就说明S和T不连通。
而我们来研究最大流的这张网络，把从S开始能到达的点分做一个集合，剩下的点分作另一个集合，我们可以得出，通过这样的方法得到的割，正向边全部跑满（否则可以继续向外延伸），这时我们构造的这个割的容量=最大流流量，由上文推知这是最小割。