网络流之最大流

Posted 2020-06-17

一、残留网络及增广路

　　残留网络、增广路及割是构成最大流最小割定理的三个基本概念，该定理巧妙地运用网络中的最小割来描述最大流的值。

1.残留网络

　　对于网络G=(V,E,C)，设流f是G中的流。残留网络直观上讲是由还可以容纳更多的流的边组成。对于G中的每条边<u，v>，可以定义残留容量为在不超过容量限制的条件下，可以通过的额外的网络流量

cf(u,v)=c(u,v)-f(u,v)

　　事实上，残留网络也是一个网络，容量由cf给出。设f是网络G=(V,E,C)的一个流，f1是残留网络Gf的一个流，则f+f1依然是网络G的一个流。这个引理给出了残留网络与原网络的关系，也为提出增广路1提供了前提。

2.增广路

　　定义：增广路p为残留网络Gf上的源s到汇t的一条简单路径。该路径的残留容量为可以沿该路径增加的最多额外流量：cf(p)=min{cf(u,v) | <u,v>∈p}。这个值是严格大于0的。

　　从上面的描述可以推导出增广路的可增广性质，定义流fp为

给定网络G中的一个流f，则f+fp依然是网络G的一个流。

 

二、最小割最大流定理

1.割

　　网络G=（V,E,C)中割[S,T]将点集V划分为S、T(S=V-T)两个部分，使得s∈S且t∈T。符号[S,T]代表边集合{<u,v>| <u,v>∈E, u∈S, v∈T}。穿过割[S,T]的净流定义为f(S,T)，割[S,T]的容量定义为c(S,T)。一个网络的最小割也就是该网络中的容量最小的割。

2.最小割最大流定理

　　可以完整描述最小割最大流定理如下：

　　如果f是具有源s和汇t的网络G={V,E,C}中的一个流，则下列条件是等价的：

　　(1)f是G的一个最大流；

　　(2)残留网络Gf不包含增广路径；

　　(3)对G的某个割[S,T],有|f|=c(S,T)。

 

三、最大流算法

1.Ford-Fulkson方法的基本思想

　　Ford-Fulkson（简称FF）方法是由Ford和Fulkson两位数学家发明的。充分利用最小割最大流定理，并创造性地发明了回退边，使得增广成为一种动态修改的过程，并且保证了最终结果的正确性。

　　FF方法的具体步骤：

　　（1）初始化网络中所有边的容量，c<u,v>继承该边的容量，c<v,u>初始化为0，其中边<v,u>即为回退边。初始化最大流为0。

　　（2）在残留网络中找一条从源S到汇T的增广路p。如能找到，则转步骤（3）；如不能找到，则转步骤（5）。

　　（3）在增光路p中找到所谓的“瓶颈”边，即路径中容量最小的边，记录下这个值X，并且累加到最大流中，转步骤（4）。

　　（4）将增广路中所有c<u,v>减去X，所有c<v,u>加上X，构成新的残留网络。转步骤（2）。

　　（5）得到网络的最大流，退出。

　　《算法导论》中严格定义FF方法为一种方法而非算法，也许正是因为FF方法中的第（2）步并未给出具体的寻找增广路方法。寻找增广路方法的不确定导致