三种常见博弈（同余 异或 黄金分割率）

Posted 2020-11-14 xly1029

一 同余博弈（Bash）

有一堆石子共有N个。A B两个人轮流拿，A先拿。每次最少拿1颗，最多拿K颗，拿到最后1颗石子的人获胜。假设A B都非常聪明，拿石子的过程中不会出现失误。给出N和K，问最后谁能赢得比赛。

 

　　A先走，只要保证每一个回合拿的总数都是k+1，就能保证B获胜。所以只要求出总数对k+1的取余是否为0就行

　　

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
　　int n,a,b;
　　cin>>n;
　　while(n--){
　　　　cin>>a>>b;
　　　　if(a%(b+1)==0)
　　　　　　cout<<‘B‘<<endl;
　　　　else
　　　　　　cout<<‘A‘<<endl;
　　}

　　return 0;

}

 

 

二 异或博弈（Nim）

有N堆石子。A B两个人轮流拿，A先拿。每次只能从一堆中取若干个，可将一堆全取走，但不可不取，拿到最后1颗石子的人获胜。假设A B都非常聪明，拿石子的过程中不会出现失误。给出N及每堆石子的数量，问最后谁能赢得比赛。

例子：3堆石子，每堆1颗。A拿1颗，B拿1颗，此时还剩1堆，所以A可以拿到最后1颗石子。

　　

　　拿两堆石子举例，如果石子不等，那么第一个人必定能构造 n n的情况， 那么无论第二个人拿多少，第一个人下一次仍然保持n n 就一定能胜利。

　　　　如果石子相等， 那么第一个人必定破坏n n 的情况 ，第二个人只要反过来重新构造N N 第二个人就会胜利

       面对奇异局势，面对者必败。

　　如果三堆石子：   若有两堆相等一堆不等，那么则在上述情况中胜负情况发生转变。

　　结论：

　　　　如果这些石子不能构成奇异局势  也就是 两两相同那么B必败。

　　　　否则B就可以构造奇异局势 N N 让A面对。A必败

　　

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1050];
int main(){
int n,t,ans=0;
cin>>n;
while(n--){
　　cin>>t;
　　ans^=t;//异或运算
　　}
　　if(ans==0)
　　　　cout<<‘B‘<<endl;
　　else
　　　　cout<<‘A‘<<endl;
　　return 0;
}

 

 

三 黄金分割率博弈（威佐夫博弈）

有2堆石子。A B两个人轮流拿，A先拿。每次可以从一堆中取任意个或从2堆中取相同数量的石子，但不可不取。拿到最后1颗石子的人获胜。假设A B都非常聪明，拿石子的过程中不会出现失误。给出2堆石子的数量，问最后谁能赢得比赛。

 

例如：2堆石子分别为3颗和5颗。那么不论A怎样拿，B都有对应的方法拿到最后1颗。

 

　　只要保证(b-a)*(sqrt(5)+1)/2==a，B一定能赢。(sqrt(5)+1)/2是黄金分割率等于0.618.

　　

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
int t,n,m,temp;
cin>>t;
while(t--){
　　cin>>n>>m;
　　if(n>m)
　　　　swap(n,m);
　　temp=(m-n)*(sqrt(5)+1)/2;
　　if(n==temp)
　　　　cout<<‘B‘<<endl;
　　else
　　　　cout<<‘A‘<<endl;
　　}
　　return 0;
}