bzoj 5092 分割序列 —— 高维前缀和

Posted 2021-01-23 zinn

题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5092

首先，处理出异或前缀和 s[i]，i 位置的答案就是 s[j] + s[j]^s[i]，j <= i

异或的套路是按位考虑，但是这里有加法...怎么考虑进位？

所以就不能考虑答案的这一位是什么，而应该考虑在这一位上的贡献，那么即使进位了，还是各位算各位的贡献，互相独立；

然后发现，如果 s[i] 在第 k 位上是1，那么 s[j] 的第 k 位无论是0还是1，总体的贡献都是 1<< k；

而如果 s[i] 在第 k 位上是0，那么如果有一个 s[j] 的第 k 位是1，总体贡献就是 2 * (1<<k)，否则贡献是0；

于是现在问题变成在 j <= i 中找到第 k 位是1的 s[j]，并且还要根据情况，对前面的位有限制；

这个不太好做，不妨变成在第 k 位是1(并且满足前面位的限制)的所有位置中，找到最靠前的位置 l，看是否 l <= i；

由于只限制某些位是1，其它位随便，符合了超集的概念，所以用高维前缀和维护满足每种限制的位置集合中最靠前的位置即可！

真是巧妙的思路，经典的应用！

(为什么处理最高位+1的 l 就秒WA，而直接做到20就A了？l 好像也没有处理错啊...)

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int const xn=(1<<20);
int n,l,s[xn],f[xn],bin[25];
int rd()
{
  int ret=0,f=1; char ch=getchar();
  while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=0; ch=getchar();}
  while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-‘0‘,ch=getchar();
  return f?ret:-ret;
}
void init()
{
  int t=n; while(t)l++,t>>=1;
  bin[0]=1; l++;
  for(int i=1;i<=l;i++)bin[i]=bin[i-1]+bin[i-1];
  for(int i=0;i<(1<<l);i++)f[i]=n+1;
}
int main()
{
  n=rd(); 
  //init();
  l=20; memset(f,0x3f,sizeof f);
  bin[0]=1;
  for(int i=1;i<=20;i++)bin[i]=bin[i-1]+bin[i-1];
  for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      s[i]=rd(); s[i]^=s[i-1];
      f[s[i]]=min(f[s[i]],i);
    }
  for(int i=0;i<l;i++)
    for(int j=0;j<(1<<l);j++)
      if(!(j&bin[i]))f[j]=min(f[j],f[j|bin[i]]);
  for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      int ans=0,t=0;
      for(int j=l-1;j>=0;j--)
    {
      if(s[i]&bin[j]){ans+=bin[j]; continue;}
      if(f[t|bin[j]]<=i)ans+=bin[j+1],t|=bin[j];
    }
      printf("%d
",ans);
    }
  return 0;
}