线段树+dp

Posted 2021-03-05 tzy666

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题解：可以翻看我的提交记录。

首先，让我们看看问题不修改的话我们怎么做。
设dpi,jdp_{i,j}dpi,j?表示第iii堆石子搬运jjj次需要的最小代价。对于单堆石子，最优的策略是把aia_iai?个石子均分在jjj次搬运上。可以证明这是最优的策略：
假设这样产生的花费为sumsumsum，而每次搬运的个数都为xxx，我们把某次搬运的个数−1-1−1，加到另一次搬运上，重新计算的花费为sum−(x∗x−(x−1)∗(x−1))+((x+1)∗(x+1)−x∗x)sum-(x*x-(x-1)*(x-1))+((x+1)*(x+1)-x*x)sum−(x∗x−(x−1)∗(x−1))+((x+1)∗(x+1)−x∗x)，对于任意的x>0x>0x>0，一定有(x+1)∗(x+1)−x∗x>x∗x−(x−1)∗(x−1)(x+1)*(x+1)-x*x>x*x-(x-1)*(x-1)(x+1)∗(x+1)−x∗x>x∗x−(x−1)∗(x−1)，那么花费增加了。
再考虑两堆石子x,yx,yx,y，我们知道dpx,k1dp_{x,k_1}dpx,k1??和dpy,k2dp_{y,k_2}dpy,k2??，另dpz,jdp_{z,j}dpz,j?表示两堆搬运jjj次全部搬完的代码，有dpz,k1+k2=min(dpx,k1+dpy,k2)dp_{z,k_1+k_2}=min(dp_{x,k_1}+dp_{y,k_2})dpz,k1?+k2??=min(dpx,k1??+dpy,k2??)。
如果没有修改，我们从前往后遍历进行dpdpdp得出答案，这样单次处理的时间复杂度为O(n3)O(n^3)O(n3)。如果处理qqq次，因为n,qn,qn,q同阶，时间复杂度为O(n4)O(n^4)O(n4)，但复杂度太高会得到TLETLETLE。
注意到本题每次仅修改一个点，那么是否可以把dpdpdp稍做修改，使得每次修改后可以快速得出答案呢？这显然是可以的，考虑444堆石子x1,x2,x3,x4x_1,x_2,x_3,x_4x1?,x2?,x3?,x4?，我们先合并x1,x2x_1,x_2x1?,x2?的答案，再合并x3,x4x_3,x_4x3?,x4?的答案，再将x1,x2x_1,x_2x1?,x2?和x3,x4x_3,x_4x3?,x4?的答案合并，这不影响最终的结果。
这样，我们可以采用分治的思想来进行dpdpdp（类似于线段树），因为最多4∗n4*n4∗n个结点，所以初始化的时间复杂度为n3n^3n3。，但对于后面的每次修改，就相当于线段树单点修改，单点修改的时间复杂度为n2lognn^2lognn2logn，总的时间复杂度O(n3logn)O(n^3logn)O(n3logn)，发现这样复杂度其实也挺大的，但别忘了还有一个小技巧sizesizesize优化，利用sizesizesize优化后时间跑不满，足以通过这道题。