矩阵快速幂+实际应用--P3390 模板矩阵快速幂，P3938 斐波那契

Posted 2021-03-05 very-beginning

*传送1，*传送2

矩阵并不是一个数而是可以表示一个比较复杂的模型（集合），而集合里封装着任意类型的值，而矩阵乘法则是一个比较重要的一个运算方式。

先说一下矩阵乘法的定义：

 

 

也就是说，结果矩阵第m行与第n列交叉位置的那个值，等于第一个矩阵第m行与第二个矩阵第n列，对应位置的每个值的乘积之和。

公式则是：其中c_ij为A的第i行与B的第j列对应乘积的和，即:

C_ij =Σa_ik*b_kj(1<=i<=n,1<=j<=n,1<=k<=n)。

矩阵乘法的代码：

const int N=100;  
int c[N][N];  //c是最终的矩阵
void multi(int a[][N],int b[][N],int n)  
{  
    memset(c,0,sizeof c);  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
        for(int j=1;j<=n;j++)  
        　　for(int k=1;k<=n;k++)  
        　　　　c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];  
}

快速幂

求幂时我们常常会因结果太大而导致速度很慢，这时候我们就需要运用倍增的思想特殊的乘法应运而生————快速幂。

举个例子，如果求a₁₀，我们需要求十次，而如果我们用了快速幂就可以把a₁₀转变为二进制的形式从而加快运算速度。

而我们又知道aⁱ=(a^i/2)2因此就有指数变小，底数变大，让运算次数变小的过程。

引入一个定义*单位矩阵（对角线为1其余都为0，一个矩阵乘单位矩阵为它本身）

void qpow(long long k){ 
     for(int i=1; i<=n; i++)
        I.a[i][i]=1;                                                          
    while(k>0) {                                                              
        if(k%2==1) I=I*a;
        a=a*a;
        k=k>>1;
    }
}

本题的完整代码：

 1 #include<algorithm>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdio>
 5 #define ll long long
 6 #define maxn 105
 7 #define mo 1000000007
 8 using namespace std;
 9 int n;
10 struct mul{
11     ll a[maxn][maxn]; 
12 }a,I;
13 mul operator *(const mul &x,const mul &y){     //重载运算符
14     mul z;
15     memset(z.a,0,sizeof(z.a));
16     for(int k=1;k<=n;k++)
17         for(int i=1;i<=n;i++)
18             for(int j=1;j<=n;j++)
19                 z.a[i][j]=(z.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]%mo)%mo;
20     return z;
21 }
22 ll k;
23 inline void init(){
24     scanf ("%lld%lld",&n,&k);
25     for(int i=1;i<=n;++i)
26         for(int j=1;j<=n;++j)
27             scanf ("%lld",&a.a[i][j]);
28 }
29 void qpow(long long k){ 
30      for(int i=1; i<=n; i++)
31         I.a[i][i]=1;                                                          
32     while(k>0) {                                                              
33         if(k%2==1) I=I*a;
34         a=a*a;
35         k=k>>1;
36     }
37 }
38 int main(){
39     init();
40     qpow(k);
41     for(int i=1;i<=n;++i){
42         for(int j=1;j<=n;++j)
43             printf("%d ",I.a[i][j]);
44         cout<<endl;
45     }
46     return 0;
47 }

在斐波那契数列之中

f[i] = 1*f[i-1]+1*f[i-2]  f[i-1] = 1*f[i-1] + 0*f[i-2];

所以我们可以构建一个矩阵做幂运算后，可以得到我们需要的矩阵，求得的矩阵为：

1 1

1 0

所以这里我是直接求解n次幂，答案就是a[0][1];

代码如下：

 1 #include<algorithm>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdio>
 5 #define ll long long
 6 #define maxn 105
 7 #define mo 1000000007
 8 using namespace std;
 9 struct mul{
10     ll a[maxn][maxn]; 
11 }a,I;
12 mul operator *(const mul &x,const mul &y){     //重载运算符
13     mul z;
14     memset(z.a,0,sizeof(z.a));
15     for(int k=1;k<=2;k++)
16         for(int i=1;i<=2;i++)
17             for(int j=1;j<=2;j++)
18                 z.a[i][j]=(z.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]%mo)%mo;
19     return z;
20 }
21 ll k;
22 inline void init(){
23     scanf ("%lld",&k);
24        a.a[1][1]=a.a[1][2]=a.a[2][1]=1;  
25     a.a[2][2]=0;
26 }
27 void qpow(long long k){ 
28      for(int i=1; i<=2; i++)
29         I.a[i][i]=1;                                                          
30     while(k>0) {                                                              
31         if(k%2==1) I=I*a;
32         a=a*a;
33         k=k>>1;
34     }
35 }
36 int main(){
37     init();
38     qpow(k);
39     cout<<I.a[1][2];
40     return 0;
41 }