1238：一元三次方程求解

Posted 2021-03-03 wendcn

【原始题目】

1238：一元三次方程求解

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【题目描述】
形如：ax3+bx2+cx+d=0ax3+bx2+cx+d=0 这样的一个一元三次方程。

给出该方程中各项的系数(a，b，c，da，b，c，d均为实数)，并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在−100−100至100100之间)，且根与根之差的绝对值≥11。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后22位。

【输入】
一行，包含四个实数a，b，c，da，b，c，d，相邻两个数之间用单个空格隔开。

【输出】
一行，包含三个实数，为该方程的三个实根，按从小到大顺序排列，相邻两个数之间用单个空格隔开，精确到小数点后22位。

【输入样例】
1.0 -5.0 -4.0 20.0
【输出样例】
-2.00 2.00 5.00

1238：一元三次方程求解

【分析】

　　　依次搜索根的范围，找出三个根就OK。原理（连续函数零点存在定理）：对于继续函数y=f(x),若f(a)*f(b)<0，则函数在区间(a,b)上必存在零点，那我们的任务就是找到两端点值异号的区间。由于两根差的经验值大于等于1，所以，我们逐个扫描整点函数值的符号就必有线索。（为了防止漏网之鱼，我把扫描间隔改为0.5）。找到范围再定位根，那就简单了——二分法。若f(a)*f(b)<0，取m=(a+b)/2,求f(m)的值。三种情况：1、运气比较好,f(m)=0,那就不用继续了，直接得结果。2、f(m)*f(a)>0，则f(m)*f(b)<0，把根的范围缩小到(m,b)，继续递归，在(m,b)中找根。3、f(a)*f(m)<0，说明(a,m)内有根，同2，递归在(a,m)找根。

注意：由于精度原因，符号的判定一般用把x>0改为x>1e-12，x<0改为x<-1e-12(也可以写-x>1e-12)，其他情况视为x=0。这个问题在1058题中有说明。

AC代码：

//1238：一元三次方程求解
#include<iostream>
#include<iomanip> 
using namespace std;
int k;
double ans[3],a,b,c,d,x0=-101;
//x0是根所在区间的左界，根有可能是-100，所以x0必须小于-100 
int f(double x)
{
    double y;
    y=a*x+b;
    y=x*y+c;
    y=x*y+d;//写的有点复杂，顺便搞下秦九韶算法 
    if(-y>1e-12)return -1;
    else if(y>1e-12)return 1;
    else return 0;
}

//二分法找根,原理：连续函数y=f(x):f(a)*f(b)<0 ，则在(a,b)上必有一根 
double key(double x,double y)
{
    double m=(x+y)/2;
    if(y-x<0.0005||f(m)==0)return m;//精确到小数点后2位，最少多算一位，再送一次精度更高哈 
    if(f(x)*f(m)==1)return key(m,y);
    else return key(x,m);
}
int main(){
    cin>>a>>b>>c>>d;     
    for(double i=-100;i<=100;i+=0.5)
        if(f(i)==0)
        {
            ans[k++]=i;
            x0=i+0.5;//很重要，否则下次判断符号就错了 
            if(k==3)break;
        }
        else if(f(x0)*f(i)==1)x0=i;
        else 
        {
            ans[k++]=key(x0,i);
            x0=i;//很重要，否则下次判断符号就错了 
            if(k==3)break;
        }
    for(int i=0;i<3;i++)
    cout<<fixed<<setprecision(2)<<ans[i]<<‘ ‘;
    return 0;
}