luogu1024 一元三次方程求解

Posted 2020-11-08 headboy2002

题目大意

已知一元三次方程\(ax^3+bx^2+cx+d=0\)：

1. 有且只有3个根
2. 对\(\forall x, x\in[-100,100]\)
3. 对\(\forall x_1,x_2,|x_1-x_2|\geq1\)
4. 定理：令\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)，则\(f(l)f(r)<0\Leftrightarrow \exists x\in [l,r],使得f(x)=0\)

思路

本题中的条件3的表达形式太讨厌了，我们求点利用的是区间，想要的是区间的性质，这才有助于我们求点。怎么翻译3呢？性质3中的那个“1”指的是区间的长度。所以翻译为：对\(\forall p\)，方程的根落在区间\([p,p+1]\)的个数不多于1。若个数等于1，则\(p,p+1\)性质4中的\(l,r\)的性质。
从拿到题开始我们很容易想到二分。二分求点，我们要的是点右方区间具有某一特定性质，点左方区间具有另一特定性质。这个“特殊性质”便是：一方有解，另一方无解。因此我们对于每个满足性质4的长度为1的区间二分即可。

注意

• 上文中的“特殊性质”不可以是“左侧图象在x轴一侧，右侧图像在x轴另一侧”，因为该区间上的图象不一定具有单调性，所以我们无法判断左右侧图象分别具体在x轴的上侧还是下侧。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const double EPS = 0.0001;
double A, B, C, D;

double Bsearch(double l, double r, double k, double eps, double (*GetVal)(double, double))
{
    double mid;
    //printf("l %.2f r %.2f\n", l, r);
    while(r - l > eps)
    {
        //printf("l %.2f r %.2f\n", l, r);
        mid=(l+r)/2.000;
        if(GetVal(l, mid) < k)
            r = mid;
        else
            l = mid;
    }
    return mid;
}

double Func(double x)
{
    return A * x * x * x + B * x * x + C * x + D;
}

double GetVal(double l, double r)
{
    return Func(l) * Func(r);
}

int main()
{
    cin>>A>>B>>C>>D;
    int ansCnt = 0;
    double ans[4];
    for(double l = -100; l <= 99; l += 1)
    {
        double r = l + 1;
        //printf("l %.2f r %.2f\n", l, r);
        if(Func(l) == 0)
            ans[++ansCnt] = l;
        else if(Func(l) * Func(r) < 0)
        {
            //printf("ok\n");
            ans[++ansCnt] = Bsearch(l, r, 0, EPS, GetVal);
        }
    }
    //printf("%.2f %.2f %.2f\n", ans[1], ans[2], ans[3]);
    //sort(ans+1, ans + 3 + 1);
    for(int i=1; i<=ansCnt; i++)
        printf("%.2f ", ans[i]);
    return 0;
}