[luogu p3799] 妖梦拼木棒

Posted 2021-03-02 crab-in-the-northeast

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妖梦拼木棒

题目背景

上道题中，妖梦斩了一地的木棒，现在她想要将木棒拼起来。

题目描述

有 (n) 根木棒，现在从中选 (4) 根，想要组成一个正三角形，问有几种选法？

答案对 (10^9+7) 取模。

输入输出格式

输入格式

第一行一个整数 (n)。

第二行 (n) 个整数，第 (i) 个整数 (a_i) 代表第 (i) 根木棒的长度。

输出格式

一行一个整数代表答案。

输入输出样例

输入样例 #1

4
1 1 2 2

输出样例 #1

1

说明

数据规模与约定

• 对于 (30\%) 的数据，保证 (n le 5 imes 10^3)。
• 对于 (100\%) 的数据，保证 (1 leq n le 10^5)，(0 le a_i le 5 imes 10^3)。

分析

首先，四根木棍要拼成正三角形，不难想到只有一种可能：两根木棍的长度相等，另外两根的长度和也和前面那两根木棍长度相等。

为了方便起见，我们把木棍从大到小长度命名为(w, x, y, z)，此时就有(w = x = y + z)。

那么此题的思路也就比较好想了，采用桶计数思想，记录每个长度出现的次数，然后枚举每一种可能的长度作为(w, x)，然后再在二层循环中枚举和为前两根木棍长度(w)（(x)也等效，因为(w = x)）的木棍(y, z)，然后再用乘法原理，组合数来计算新方案。同时，我们还设桶计数思想中的这个桶数组为(a)，也就是说，(a_i)代表长度为(i)的木棍数量。

但还是这个具体怎么计算呢？分为两种情况。

• (y ot= z)：这种情况就是在长度为(w)（(x)）取(2)根的方案数( imes)长度为(y)的木棍中取(1)根的方案数( imes)长度为(z)的木棍中取(1)根的方案数。因为(y ot= z)，长度为(y)的木棍中取(1)根的方案数和长度为(z)的木棍中取(1)根的方案数之间可以直接画乘号（互不干涉性）。这种方案的公式就是(C^2_{a_w} imes C^1_{a_y} imes C^1_{a_z})。
• (y = z)：这种情况就是在长度为(w)（(x)）取(2)根的方案数( imes)长度为(y)（(z)）的木棍中取(2)根的方案数。这次(y = z)了，我们要放在一个地方中考虑。用公式表示就是(C^2_{a_w} imes C^2_{a_y})

讲完思路，我们就上代码咯。

代码

/*
 * @Author: crab-in-the-northeast 
 * @Date: 2020-04-06 00:25:54 
 * @Last Modified by: crab-in-the-northeast
 * @Last Modified time: 2020-04-06 10:23:32
 */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <climits>

typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxl = 5e3 + 5;

int a[maxl];

inline int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

inline int min(int a, int b) {
    return a < b ? a : b;
}

int main() {
    int n;
    ll ans = 0;
    std :: cin >> n;
    
    int begin = INT_MAX;
    int end = INT_MIN;

    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int len;
        std :: cin >> len;
        begin = min(begin, len);
        end = max(end, len);
        a[len]++;
    }

    for(int i = begin + 1; i <= end; i++) {
        if(a[i] > 1) {//数量必须>1，要不然凑不成前面的两根木棍
            for(int j = begin; j <= i / 2; j++) {
                if(a[j] && a[i - j]) {//看看是不是都有
                    if(j == i - j && a[j] >= 2)//如果两个是相等的，还需要注意这个够不够两根
                        ans = ans + ((a[i] * (a[i] - 1) >> 1) * (a[j] * (a[j] - 1) >> 1) % mod) % mod;
                    else if(j != i - j)//要特别注意这个if，因为上边的条件中如果j == i - j但是a[j] < 2仍然会来到这个分支，所以我们必须保证j != i - j才能进行下一步计算
                        ans = ans + ((a[i] * (a[i] - 1) >> 1) * a[j] * a[i - j]) % mod;      
                }
                ans %= mod;
            }
        }
    }

    std :: cout << ans << std :: endl;
    return 0;
}

评测结果

• WA 70：R32516251（在条件分支处没有注意else if(j != i - j)这个不能去掉后面的if
• AC 100：R32516573