[算法学习] 多项式全家桶

Posted 2021-03-02 wlzhouzhuan

多项式

一个(n)次多项式可以表示为(A(x)=sum_{i=0}^{n}a_i x^i)，另一个(n)次多项式可以表示为(B(x)=sum_{i=0}^{n}b_i x^i)。

• 多项式加法
  将(A(x))和(B(x))相加，得到多项式(C(x)=sum_{i=0}^{n} (a_i+b_i) x^i)。
  复杂度是(O(n))的。
• 多项式乘法
  将(A(x))和(B(x))相乘，得到多项式(C(x)=sum_{i=0}^{n}sum_{j=0}^{n}a_ib_jx^{i+j})。
  复杂度是(O(n^2))的，不是很优，于是我们决定想办法来解决它。

快速傅里叶变换 (FFT)

概述

快速傅里叶变换，英文名(Fast Fourier Transform)，它可以在(O(nlog(n)))的复杂度内完成多项式乘法。

前置技能

函数的表达方法

• 系数表达法
  通过(a_0,a_1,...,a_n)来表示函数(f(x)=sum_{i=0}^{n}a_ix^i)
• 点值表达法
  选取平面上(n+1)个不同的点来表示函数(f(x)={ (x_0,y_0), (x_1,y_1), ..., (x_n, y_n)})

我们发现，通过点值表达法，我们可以在(O(n))的复杂度内计算出(C(x))，于是我们考虑将系数和点值结合起来。

单位复数根

在复平面上，单位圆有一些其妙的性质：
我们默认(n=2^t,tin N)

• (w_n^k=w_{2n}^{2k})
• (w_n^{k+frac{n}{2}}=-w_n^k)
• (w_n^k=w_n^{k+n})
• 对于任意(k)，均满足(sum_{j=0}^{n-1}(w_n^k)^j=0)