XSY1528

Posted 2021-03-01 grice

题意

有一条直线，你在(0)位置，你要去(h)位置。
路上有一些不同的位置上有敌人，你要和他战斗，你有(p_i)的概率赢。若你赢，则你可以走过去，否则你会死。还有一些不同的重生点（与敌人位置不同）。你每经过一个重生点有(p_i)的概率插旗。你死亡后你会在最后一个插旗的位置重生，然后该位置的旗子消失。如果没有旗子，则你在(0)位置重生。
求你走到目的地的期望路程。模({10}^9+7)
(nleq 100000)

做法

令(f_i)为走过(i)点后不再回到(i)及(i)之前到达终点的概率

• (i+1)为敌人
  (f_i=f_{i+1} imes p_{i+1})
• (i+1)为重生点

[f_i=f_{i+1}+(1-f_{i+1})*p_{i+1}*f_{i+1}+((1-f_{i+1})*p_{i+1})^2*f_{i+1}+...=frac{f_{i+1}}{(1-p_{i+1}*(1-f_{i+1}))} ]

然后分母可能为(0)，所以我们维护(frac{1}{f_i})，令(f_{i}‘=frac{1}{f_i})，则(f_i‘=(1-p_{i+1}) imes f_{i+1}‘+p_{i+1})
然后贡献的话就是一段路径长( imes)经过这一段的期望次数