一些狄利克雷卷积性质的证明

Posted 2021-02-20 nebulyu

1.(phi * I=id)

可以表示成(n=Sigma_{dmid n}phi(d))

对于证明这类的式子，一般有以下个步骤

1.证明(f(1))

2.证明(f(p))

3.证明(f(p^k))

4.证明(f(p_1^{k1}*p_2^{k2}))

5.证明普遍性

以欧拉函数的这一性质为例

1.(phi(1)=1),直接由定义得出

2.(phi(1)=1,phi(p)=p-1,phi(1)+phi(p)=p)

3.(Sigma^k_{i=0}phi(p^i)=1+Sigma^k_{i=1}phi(p^i)=1+Sigma^k_{i=1}p^{i-1}*(p-1)=1+(p-1)*(p^k-1)/(p-1)=p^k)

4.(p_1^{k1}*p_2^{k2}=Sigma_{d1mid p1^{k1}}phi(d1)*Sigma_{d2mid p2^{k2}}phi(d2)=Sigma_{dmid p_1^{k1}*p_2^{k2}}phi(d))

5.对于普遍的情况，依次拆成2个数利用性质4即可得出

即(phi * I=id)

2.(mu *I=epsilon)

这个性质并没有上面的复杂，只需要3个步骤即可证出

1.(mu(1)=1,epsilon(1)=1),由定义得

2.对于一个拥有重复质因子数的数，(mu(n)=0,epsilon(n)=0)

3.对于(n=Pi_{i=1}^kp_i),含有i项质数的项数为n-i+1,由组合数的性质(二项式定理)可得，奇项数等于偶项数，(mu(n)=0)

即(mu *I=epsilon)

3.(mu *id=phi)

由性质1，2可推出

4.在莫比乌斯反演中，有两条核心卷积式

1.(F=I*f)

2.(f=mu *F)

2式可由1式与性质2推得，用卷积来推要比直接拆开方便理解很多

? ——2020.5.4