剑指offer 变态跳台阶

Posted 2021-02-18 john1015

题目：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

代码：

 1 //动态规划版
 2 class Solution {
 3 public:
 4     int jumpFloorII(int number) {
 5         if( number == 0)
 6             return 0;
 7         int count = 1;
 8         for(int i = 1; i < number; i ++)
 9             count *= 2;
10         return count;
11     }
12 };

我的笔记：

关于本题，前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下:

　　f(1) = 1

　　f(2) = f(2-1) + f(2-2)         //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。

　　f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3) 

　　...

　　f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n) 

说明： 

　　1）这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,...n阶的 跳法数。

　　2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1

　　3) n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2) 

　　4) n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，

    　　那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)

    　　因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)

　　5) n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶...n阶，得出结论：

    　　f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1)

　　6) 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：

   　　f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)

   　　f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)

    　　可以得出：

    　　f(n) = 2*f(n-1)

　　7) 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、...n阶的跳的方式时，总得跳法为：

              　　| 1       ,(n=0 ) 

　　f(n) =     | 1       ,(n=1 )

              　　| 2*f(n-1),(n>=2)