关于矩阵乘法结合律的证明

Posted sun123zxy

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了关于矩阵乘法结合律的证明相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

其实很naive...
证明的主要意义在于说明两种运算如有分配律就可以做矩乘

若二元运算 (oplus , otimes) 分别满足交换律,且有 (otimes)(oplus) 的分配律,即

[a otimes ( b oplus c ) = a otimes b + a otimes c = (b oplus c) otimes a ]

(事实上如果没有交换律矩阵乘法根本就没有意义)

据此定义矩阵乘法 (A * B = C) ,即

[C_{i,j} = igoplus _{k=1}^n A_{i,k} otimes B_{k,j} ]

(A,B,C) 为矩阵,用 (A_{i,j}) 表示矩阵 (A) 中第 (i) 行第 (j) 列的元素)

则矩阵乘法具有结合律:

[(A*B)*C = A*(B*C) ]

证明:

[egin{aligned} ( ( A*B ) *C ) _{i,j} &= igoplus_{k=1}^{n} (A*B)_{i,k} otimes C_{k,j} &= igoplus_{k=1}^{n} (igoplus_{l=1}^n A_{i,l} otimes B_{l,k}) otimes C_{k,j} &= igoplus_{k=1}^{n} igoplus_{l=1}^n A_{i,l} otimes B_{l,k} otimes C_{k,j} quad & ext{...分配律} &= igoplus_{l=1}^{n} igoplus_{k=1}^n A_{i,l} otimes B_{l,k} otimes C_{k,j} quad & ext{...交换律更换枚举} &= igoplus_{l=1}^{n} A_{i,l} otimes ( igoplus_{k=1}^n B_{l,k} otimes C_{k,j} ) quad & ext{...分配律} &= igoplus_{l=1}^{n} A_{i,l} otimes ({B*C})_{l,j} &= (A*(B*C))_{i,j} end{aligned} ]

2020/06/06

以上是关于关于矩阵乘法结合律的证明的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

矩阵结合律的证明-2019.11.29

Luogu P3390 模板矩阵快速幂&&P1939 模板矩阵加速(数列)

min 与 + 运算转换成类似于矩阵乘法的推导过程

乘法结合律的(25+8)X4算法?

51nod 1140 矩阵相乘结果的判断

矩阵的乘法运算法则