矩阵结合律的证明-2019.11.29

Posted 2020-11-23 evaworld

学习日志—矩阵
矩阵的乘法
证明矩阵乘法的结合律，即证A(BC)=(AB)C
先令出三个矩阵

A_{mn}; B_{np}; C_(p*q)

先看等式右边(AB)C
新矩阵第i行第j列的元素就是AB相乘后的第i行与C的第j列各元素相乘的和
A的第i行乘以B的第1列如下：

egin{equation}
left[
egin{array}{cccc}
a_{i1} & a_{i2} & … & a_{in}
end{array}
ight ]
left[
egin{array}{c}
b_{11}
b_{12}
...
b_{1n}
end{array}
ight ]
end{equation}

所以AB的第i行的n个元素就是A的第i行乘上B的每一列。（AB）C的第（i，j）个元素计算如下：

egin{equation}
(AB)C_{(i,j)}
=
(sum_{r=1}^n a_{ir}b_{r1}, sum_{r=1}^n a_{ir}b_{r2}, …, sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rp})
left(
egin{array}{c}
c_{1j}
c_{2j}
…
c_{rj}
end{array}
ight)

=c_{1j}(sum_{r=1}^n a_{ij}b_{ij})+ c_{2j}(sum_{r=1}^n a_{ij}b_{ij})+…+ c_{qj}(sum_{r=1}^n a_{ij}b_{ij})
=
sum_{k=1}^q c_{kj}sum_{r=1}^n(a_{ir}b_{rk})
=
sum_{k=1}^q sum_{r=1}^n c_{kj}(a_{ir}b_{rk}) %调换了一下位置
end{equation}

所以BC的第i列的n个元素就是B的第每一行乘上C的第i列。A（BC）的第（i，j）个元素计算如下：

egin{equation}
A(BC){(i,j)}
=
left(
egin{array}{cccc}
a{i1} & a_{i2} & ... & a_{ir}
end{array}
ight)
left(
egin{array}{c}
sum_{k=1}^p b_{1k}c_{kj}
sum_{k=1}^p b_{2k}c_{kj}
...
sum_{k=1}^p b_{nk}c_{kj}
end{array}
ight)
=
sum_{k=1}^p sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rk}c_{kj}
end{equation}