Luogu P3390 模板矩阵快速幂&&P1939 模板矩阵加速（数列）

Posted 2020-11-05 hl666

补一补之前的坑

因为上次关于矩阵的那篇blog写的内容太多太宽泛了，所以这次把一些板子和基本思路理一理

先看这道模板题：P3390 【模板】矩阵快速幂

首先我们知道矩阵乘法满足结合律而不满足交换律的一种运算

因此我们对于矩阵A的p次只需要先算出A^(p/2)即可

这不就是快速幂吗，快速幂的模板看这里

然后我们把其中的整数乘法改成矩阵乘法即可

关于矩阵的其他东西都不会，好吧，看一看概述矩阵

CODE

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=105,mod=1e9+7;
inline char tc(void)
{
    static char fl[100000],*A=fl,*B=fl;
    return A==B&&(B=(A=fl)+fread(fl,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(LL &x)
{
    x=0; char ch=tc();
    while (ch<\'0\'||ch>\'9\') ch=tc();
    while (ch>=\'0\'&&ch<=\'9\') x=x*10+ch-\'0\',ch=tc();
}
inline void write(int x)
{
    if (x/10) write(x/10);
    putchar(x%10+\'0\');
}
struct Matrix
{
    int n,m;
    LL a[N][N];
    inline void input(void)
    {
        for (register int i=1;i<=n;++i)
        for (register int j=1;j<=m;++j)
        read(a[i][j]);
    }
    inline void output(void)
    {
        for (register int i=1;i<=n;++i,putchar(\'\\n\'))
        for (register int j=1;j<=m;++j)
        write(a[i][j]),putchar(\' \');
    }
    inline void cri_init(void)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        for (register int i=1;i<=n;++i)
        a[i][i]=1;
    }
};
LL k,n;
inline Matrix mul(Matrix A,Matrix B)
{
    Matrix C; C.n=A.n; C.m=B.m;
    memset(C.a,0,sizeof(C.a));
    for (register int i=1;i<=C.n;++i)
    for (register int j=1;j<=C.m;++j)
    for (register int k=1;k<=A.m;++k)
    C.a[i][j]=(C.a[i][j]+A.a[i][k]*B.a[k][j])%mod;
    return C;
}
inline Matrix quick_pow(Matrix A,LL p)
{
    Matrix T; T.n=T.m=n; T.cri_init();
    while (p)
    {
        if (p&1) T=mul(T,A);
        A=mul(A,A); p>>=1;
    }
    return T;
}
int main()
{
    //freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout); 
    read(n); read(k);
    Matrix A; A.n=A.m=n;
    A.input();
    A=quick_pow(A,k);
    A.output();
    return 0;
}

再看这道题：P1939 【模板】矩阵加速（数列）

主要讲一下矩阵与递推之间如何转化

首先我们看题目给出的式子：

• a[1]=a[2]=a[3]=1

• a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)

首先我们通过题目给出的初始值得到初始的列向量：

1 a[1]
1 分别表示 a[2]
1 a[3]

我们发现，当前的这一项与它的前三项都有关，因此我们可以建立一个3*3的矩阵

然后因为a[4]=a[1]+a[3]，而稍加推导可以将a[2]代替a[1]的位置，a[3]代替a[2]的位置

注意这里就很重要了，因为a[1]对于a[5]以及以后的推导没有任何作用了，因此可以直接被覆盖

可以结合滚动数组的思想进行一下理解

然后我们得出递推矩阵：

0 1 0
0 0 1
1 0 1

手推一下就会发现刚好完成了想要的效果

然后我们只需要把初始的列向量乘递推矩阵(n-3)次即可

矩阵快速幂求之

CODE

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=4,mod=1e9+7;
struct Matrix
{
    int n,m;
    LL a[N][N];
    inline void Dt_init(void)
    {
        n=m=3; memset(a,0,sizeof(a));
        a[1][2]=a[2][3]=a[3][1]=a[3][3]=1;
    }
    inline void cri_init(void)
    {
        n=m=3; memset(a,0,sizeof(a));
        for (register int i=1;i<=n;++i)
        a[i][i]=1;
    }
};
int t,n;
inline char tc(void)
{
    static char fl[100000],*A=fl,*B=fl;
    return A==B&&(B=(A=fl)+fread(fl,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(int &x)
{
    x=0; char ch=tc();
    while (ch<\'0\'||ch>\'9\') ch=tc();
    while (ch>=\'0\'&&ch<=\'9\') x=x*10+ch-\'0\',ch=tc();
}
inline void write(int x)
{
    if (x/10) write(x/10);
    putchar(x%10+\'0\');
}
inline Matrix mul(Matrix A,Matrix B)
{
    Matrix C; C.n=A.n; C.m=B.m;
    memset(C.a,0,sizeof(C.a));
    for (register int i=1;i<=C.n;++i)
    for (register int j=1;j<=C.m;++j)
    for (register int k=1;k<=A.m;++k)
    C.a[i][j]=(C.a[i][j]+A.a[i][k]*B.a[k][j])%mod;
    return C;
}
inline Matrix quick_pow(Matrix A,int p)
{
    Matrix T; T.cri_init();
    while (p)
    {
        if (p&1) T=mul(T,A);
        A=mul(A,A); p>>=1;
    }
    return T;
}
int main()
{
    //freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout); 
    read(t);
    while (t--)
    {
        read(n); Matrix F; F.Dt_init();
        if (n<=3) { puts("1"); continue; }
        F=quick_pow(F,n-3);
        write((F.a[3][1]+F.a[3][2]+F.a[3][3])%mod); putchar(\'\\n\');
    }
    return 0;
}

最后我们简单总结一下用矩阵乘法优化递推的步骤：

1. 通过题目给出的关系得出线性递推关系

2. 列出初始矩阵的值，通常根据初始条件确定

3. 通过递推式，得到每一项的关系由那些地方转移过来，一般来说，就可以吧推得的当前项的项在矩阵中的位置附上1（如果有乘的关系就赋成负数），但具体还是根据题目意思而定

4. 通过矩阵快速幂来优化乘法，得到最终矩阵并与初始矩阵相乘

然后就静候AC吧