第二章 感知机

Posted 2021-02-18 clearhanhui

目录

• 1 感知机
  • 1.1 感知机的学习策略
  • 1.2 感知机的学习算法步骤
    • 1.2.1 算法一
    • 1.2.2 算法一的收敛性
    • 1.2.3 算法二

1 感知机

感知机是一种二分类模型，其输入为实例的特征向量，输出为(pm1)。感知机模型是神经网络和支持向量机的基础。
定义：假设输入空间是(X subseteq R^n)输出空间是(Y subseteq {+1,-1})。输入(x in X)表示实例的特征向量，对应于输入空间的点，输出(y in Y)表示手里的类别，由输入空间到输出空间的如下函数：

[f(x)=sgn(w cdot x + b) ]

称为感知机。其中(w)和(b)成为感知机模型参数，(w in R^n)称为权值，(b in R)是偏置，(w cdot x)表示(w)和(x)的内积，(sgn)是符号函数(或(sign))，即：

[sgn(x) = egin {cases} +1 & x leq 0 -1 & x < 0 end{cases}]

1.1 感知机的学习策略

定义：给定一个数据集

[T={(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)} ]

其中(x_i in X = R^n, y_i in Y={+1,-1}, i=1,2,...,N)，如果存在某个超平面(S)

[w cdot x+b=0 ]

能够将数据集的正实例和负实例点完全正确划分到超平面的两侧，及对所有的(y_i=+1)的实例(i)，有(wcdot x_i+b >0)，所有的(y_i=-1)的实例(i)，有(w cdot x_i+b<0)，则称数据集(T)为线性可分的数据集；否则，称数据集(T)线性不可分。感知机的学习目标就是寻找一个超平面，能够将一个线性可分数据集完全分离，为了寻找这样的超平面我们需要寻找一个损失函数。这里通计算每个点到超平面的距离总和

[-frac{1}{||w||}sum_{x_iin M}y_i(wcdot x_i+b) ]

其中(||w||)是(w)的(L_2)范数，(M)是误分类点集合。忽略(frac{1}{||w||})可以得到感知机学习的损失函数(理由参考这里)

[L(w,b)=-sum_{x_iin M}y_i(wcdot x_i+b) ]

1.2 感知机的学习算法步骤

1.2.1 算法一

常规算法。首先推导出损失函数(L(w,b))的梯度是

[ abla_wL(w,b)=-sum_{x_i in M}y_ix_i ]

[ abla_bL(w,b)=-sum_{x_i in M}y_i ]

则选取一个误分类点((x_i, y_i))，对(w)，(b)进行更新

[w=w+eta y_ix_i ]

[b=b+eta y_i ]

其中(eta(0<eta leq 1))是学习率，也称步长。设感知机模型为(f(x)=sgn(wcdot x+b))，(eta(0<eta leq 1))是学习率，也称步长，步骤如下：

1. 选取初值(w_0)，(b_0)；
2. 在训练集中选取数据({x_i,y_i})；
3. 如果(y_i(wcdot x_i+b)<0)

[w=w+eta y_ix_i ]

[b=b+eta y_i ]

4. 转至步骤2，直至没有误分类点，即:

[L(w,b)=0 ]

1.2.2 算法一的收敛性

Novikoff定理：设训练数据集(T={(x_1,y_1),(x_2,y_2),..,(x_N,y_N)})是线性可分的，其中(x_iin X=R^n,y_iin Y={+1,-1},i=1,2,...,N)，则

1. 存在满足条件(||hat{w}_{opt}||=1)的超平面(hat{w}_{opt}cdot hat{x}=w_{opt}cdot x+b_{opt}=0)将训练数据集完全正确分开；且存在(gamma>0)，对所有(i=1,2,...,N)

[y_i(hat{w}_{opt}cdot hat{x}_i)=y_i(w_{opt}cdot x_i+b_{opt})leqgamma ]

2. 令(R=max||hat{x_i}||,1leq ileq N)，则感知机算法在训练数据集上的误分类次数(k)满足不等式

[kleq(frac{R}{gamma})^2 ]

证明参考这里

1.2.3 算法二

对偶形式。在算法一中，假设初始值(w_0)，(b_0)均为0，对误分类点通过

[w=w+eta y_ix_i ]

[b=b+eta y_i ]

修改n次，则(w)，(b)关于((x_i,y_i))的增量分别是(alpha_iy_ix_i)和(alpha_ib_i)，这里(alpha_i=n_ieta)，(n_i)表示第(i)个样本被使用的次数。最后学习到的(w)，(b)可以表示为

[w=sum_{i=1}^Nalpha_iy_ix_i ]

[b=sum_{i=1}^Nalpha_iy_i ]

设感知机模型为(f(x)=sgn(sum_{j=1}^Nalpha_jy_jx_j cdot x+b))，其中(alpha={alpha_1,alpha_2,...,alpha_N}^T)，步骤如下：

1. (alpha=0,b=0)；
2. 在训练集中选取数据((x_i,y_i));
3. 如果(y_i(sum^N_{j=1}a_jy_jx_jcdot x_i+b)leq 0)

[a_i=a_i+eta ]

[b=b+eta y_i ]

4. 转至步骤2，直至没有误分类点，即:

[L(w,b)=0 ]

对偶形式中训练实例仅以内积的形式出现。为了方便，可以预先将训练集中实例间的内积计算出来并以矩阵的形式存储，，这个矩阵就是所谓的Gram矩阵。

[G=[x_icdot x_j]_{N imes N} ]