简单数学（组合数+求数列通项公式）

Posted 2021-02-13 acm1ruoji

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6467

看到这题，简单数学？？？对不起我给数学老师丢脸了！

这里解释一下第二步到第三步：假设n=3，第二步{1*C（1，1）+1*C（1，2）+1*C（1，3）+2*C（2，2）+2*C（2，3）+3*C（3，3）}，第三步{1*C(1,1)+1*C(1,2)+2*C(2,2)+1*C(1,3)+2*C(2,3)+3*C(3,3)}。可以发现是相等的

之后最后一步就是组合数求和公式2^n。

 

之后便可以得到递推公式。但是直接用递推公式写还是会超时的，所以要进一步化简成通项公式。

n*(2^(n-1))=2(n-1)*(2^(n-1))-(n-2)*(2^(n-1))

之后根据这个将其分配

F(n)-(n-1)*2^n=F(n-1)-(n-2)*(2^(n-1))

很明显就有等比数列：(F(n)-(n-1)*2^n)/(F(n-1)-(n-2)*(2^(n-1)))=1

并且这个等比数列的公比就是1

而F(1)=1,所以第一项值为1

所以很明显这个等比数列恒为1

所以F(n)-(n-1)*2^n=1 --->F(n)=(n-1)*(2^n)+1

既然有了通项公式，AC什么的都太简单了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define ll long long
const ll mod=1e9+7;
void read(int &a)
{
    a=0;
    int d=1;
    char ch;
    while(ch=getchar(),ch<‘0‘||ch>‘9‘)
        if(ch==‘-‘)
            d=-1;
    a=ch-‘0‘;
    while(ch=getchar(),ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)
        a=a*10+ch-‘0‘;
    a*=d;
}
void write(int x)
{
    if(x<0)
        putchar(45),x=-x;
    if(x>9)
        write(x/10);
    putchar(x%10+‘0‘);
}
ll quickmod(ll x,ll y)
{
    ll res=1;
    ll base=x;
    while(y)
    {
        if(y&1)
            res=res*base%mod;
        base=base*base%mod;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    ll n;
    while(~scanf("%lld",&n))
    {
        ll ans=((((n-1)%mod*quickmod(2,n))%mod)+1)%mod;
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}

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