求数列通项公式的小众方法

Posted 2020-11-27 wanghai0666

前言

以下的这些求数列的通项公式的方法都比较小众，不是主流的高考考查方法，在此只是作以整理；

不动点法

山东的一位老师提供，不动点法说明：【百度】

若(f(x)=x)，则称(x)为方程的不动点；

令(x=cfrac{1}{2}(x+cfrac{1}{x}))，则(x^2=1)，解得(x=pm 1)是(f(x)=cfrac{1}{2}(x+cfrac{1}{x}))的两个不动点；

例1已知数列({a_n})中，(a_1=2)，(a_{n+1}=cfrac{1}{2}(a_n+cfrac{1}{a_n}))，求数列({a_n})的通项公式；

分析：(cfrac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1}=cfrac{frac{1}{2}cdot frac{a_n^2+1}{a_n}+1}{frac{1}{2}cdot frac{a_n^2+1}{a_n}-1}=cfrac{a_n^2+2a_n+1}{a_n^2+2a_n+1}=ig(cfrac{a_n+1}{a_n-1}ig)^2)，

令(b_{n+1}=cfrac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1})，则上述表达式变形为(b_{n+1}=b_n^2)，

对上式两边同时取常用对数，得到(lg b_{n+1}=2lg b_n)，

又由于(b_1=cfrac{a_{1}+1}{a_{1}-1}=cfrac{2+1}{2-1}=3)，则(lgb_1=lg3)，

则数列({lg b_n})为等比数列，首项为(lg3)，公比为(2)，

故有(lg b_n=(lgb_1)cdot 2^{n-1}=(lg3)cdot 2^{n-1}=2^{n-1}lg3=lg3^{2^{n-1}})，

故(b_n= 3^{2^{n-1}})，即(cfrac{a_n+1}{a_n-1}= 3^{2^{n-1}})，

解得，(a_n=cfrac{3^{2^{n-1}}+1}{3^{2^{n-1}}-1})；

• 赋值法，如(a_{n+m}=a_ncdot a_m)，令(m=1)即(a_{n+1}=a_1cdot a_n)，不就是等比数列嘛；

• 赋值法，如(a_{n+m}=a_n+a_m)，令(m=1)即(a_{n+1}=a_n+a_1)，不就是等差数列嘛；

• 形如(a_{n+1}cdot a_n = 2^n) 得到(cfrac{a_{n+2}}{a_n} = 2)，则可知所有奇数项、偶数项各自成等比数列。

• 形如(a_{n+1}+a_n =2n) 得到(a_{n+2}-a_n= 2)，则可知所有奇数项、偶数项各自成等差数列。

• 取对数法，如$a_{n+1}=pcdot a_n^m $，p，m 为常数，两边取对数构造等比数列。(考查概率很小很小)

• 解方程法，如(a_n^2-2ncdot a_n - 1 = 0)，(a_n>0)，解方程即可。 (考查概率很小很小)