使用数学归纳法证明斐波那契数列通项公式

Posted 2023-05-01 DengStar

使用数学归纳法证明斐波那契数列通项公式：\\(F_n = \\dfrac\\phi^n - \\hat\\phi^n\\sqrt5\\)

定义

已知斐波那契数列 \\(F\\) 定义为：

\\[F_n = \\begincases 0, n = 0\\\\ n, n = 1\\\\ F_n-1 + F_n-2, i \\ge 2 \\endcases \\]

\\(\\phi\\) 和 \\(\\hat\\phi\\) 分别为方程 \\(x^2 + x + 1 = 0\\) 的两个解，且 \\(\\phi > \\hat\\phi\\)。具体而言，\\(\\phi = \\dfrac1 + \\sqrt52\\)，\\(\\hat\\phi = \\dfrac1 - \\sqrt52\\)。

证明：\\(F_n = \\dfrac\\phi^n - \\hat\\phi^n\\sqrt5\\)。

证明

使用数学归纳法进行证明。

思路如下：先通过代入证明该公式当 \\(n = 0\\) 和 \\(n = 1\\) 时成立。再证明，若该公式当 \\(n = k - 2\\) 和 \\(n = k - 1\\) 时成立，则当 \\(n = k\\) 时也成立。

如此，因为 \\(i = 0\\) 和 \\(i = 1\\) 时成立，可推出 \\(i = 2\\) 时该公式也成立；因为 \\(i = 1\\) 和 \\(i = 2\\) 时成立，可推出 \\(i = 3\\) 时该公式也成立，以此类推，就可以证明该公式对于所有自然数都成立。

根据以上思路，首先先证明该公式当 \\(n = 0\\) 和 \\(n = 1\\) 时成立。这一步可以通过简单的直接代入证明，如下：

\\[F_0 = \\dfrac\\phi^0 - \\hat\\phi^0\\sqrt5 = \\dfrac1 - 1\\sqrt5 = 0 \\\\ F_1 = \\dfrac\\phi^1 - \\hat\\phi^1\\sqrt5 = \\dfrac1 + \\sqrt5 - (1 - \\sqrt5)2 \\times \\dfrac1\\sqrt5 = \\dfrac2\\sqrt52\\sqrt5 = 1 \\]

因为我们已知 \\(F_0 = 0\\)，\\(F_1 = 1\\)，所以该公式对于 \\(n = 0\\) 和 \\(n = 1\\) 时是成立的。

下面，我们要证明，若该公式当 \\(n = k - 2\\) 和 \\(n = k - 1\\) 时成立，则当 \\(n = k\\) 时也成立。这也正是难点所在（不过事实上，也并没有特别难）。

因为该公式当 \\(n = k - 2\\) 和 \\(n = k - 1\\) 时成立，所以我们可以表示出 \\(F_k-2\\) 和 \\(F_k-1\\) 的值：

\\[F_k-2 = \\dfrac\\phi^k-2 - \\hat\\phi^k-2\\sqrt5, F_k-1 = \\dfrac\\phi^k-1 - \\hat\\phi^k-1\\sqrt5 \\]

根据斐波那契数列的定义，我们知道 \\(F_n = F_n-2 + F_n-1\\)，也就是说

\\[F_k = \\dfrac\\phi^k-2 - \\hat\\phi^k-2\\sqrt5+ \\dfrac\\phi^k-1 - \\hat\\phi^k-1\\sqrt5 \\]

我们要证明 \\(F_n = \\dfrac\\phi^n - \\hat\\phi^n\\sqrt5\\)，也就是要把上面这个和式 \\(\\dfrac\\phi^k-2 - \\hat\\phi^k-2\\sqrt5+ \\dfrac\\phi^k-1 - \\hat\\phi^k-1\\sqrt5\\) 化简成前面的形式。那么我们开始计算，看看是否可行：

\\[\\beginaligned F_k & = \\dfrac\\phi^k-2 - \\hat\\phi^k-2\\sqrt5+ \\dfrac\\phi^k-1 - \\hat\\phi^k-1\\sqrt5 \\\\ & = \\dfrac\\phi^k-2 - \\hat\\phi^k-2 + \\phi^k-1 - \\hat\\phi^k-1\\sqrt5 \\\\ & = \\dfrac\\phi^k-2(1 + \\phi) + \\hat\\phi^k-2(1 + \\hat\\phi)\\sqrt5 \\qquad \\text提出公因式 \\endaligned \\]

到这里似乎有点不太找得到头绪，不过我们可以从 \\(\\phi\\) 和 \\(\\hat\\phi\\) 两个数本身的性质入手。我们知道它们是方程 \\(x^2 + x + 1 = 0\\) 的两个解，所以一下两个式子是成立的：

\\[\\phi + 1 = \\phi^2 \\\\ \\hat\\phi + 1 = \\hat\\phi ^ 2 \\]

把这两个式子代入上式，

\\[\\beginaligned F_k & = \\dfrac\\phi^k-2(1 + \\phi) + \\hat\\phi^k-2(1 + \\hat\\phi)\\sqrt5 \\\\ & = \\dfrac\\phi^k-2 \\times \\phi^2 + \\hat\\phi^k-2 \\times \\hat\\phi^2\\sqrt5 \\\\ & = \\dfrac\\phi^k - \\hat\\phi^k\\sqrt5 \\endaligned \\]

即 \\(F_n = \\dfrac\\phi^n - \\hat\\phi^n\\sqrt5\\)

因此得证。

\\[Q.E.D \\]

2023 年 5 月 1 日

斐波那契数列的求和公式

斐波那契数列的通项公式为
an=√5/5[(1+√5)/2]^n-√5/5[(1-√5)/2]^n，设bn=√5/5[(1+√5)/2]^n，cn=√5/5[(1-√5)/2]^n
则an=bn-cn，bn是公比为(1+√5)/2的等比数列，cn是公比为(1-√5)/2的等比数列，
bn的前n项和Bn=√5/5[(1+√5)/2]*(1-[(1+√5)/2]^n)/(1-[(1+√5)/2])
=(3√5+5)([(1+√5)/2]^n-1)/10
cn的前n项和Cn=√5/5[(1-√5)/2]*(1-[(1-√5)/2]^n)/(1-[(1-√5)/2])
=(3√5-5)([(1-√5)/2]^n-1)/10
所以an的前n项和An=a1+a2+…+an=b1-c1+b2-c2+…+bn-cn=Bn-Cn
=(3√5+5)([(1+√5)/2]^n-1)/10-(3√5-5)([(1-√5)/2]^n-1)/10
=(3√5+5)([(1+√5)/2]^n-1)-(3√5-5)([(1-√5)/2]^n-1)/10 参考技术A （1/根号5）【（1 根号5）/2】n次方-【（1-根号5）/2】n次方希望能看懂 不好输这个式子 参考技术B 回答

这个数列是由13世纪意大利斐波那契提出的的,故叫斐波那契数列。该数列由下面的递推关系决定：F0=0,F1=1Fn+2=Fn + Fn+1(n>=0)它的通项公式是 Fn=1/根号5[(1+根号5)/2]的n次方-[(1-根号5)/2]的n次方(n属于正整数)