组合游戏（博弈）

Posted 2021-02-12 qie-wei

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昨天看大白书翻到了组合游戏这章，看着发觉原来是博弈论的内容，于是便看下去了。真是不看不知道，一看才知道自己的水平有多弱，不过好在还是集中精神地看了大部分。从Nim游戏（n堆石子，每人每次可以从任意一堆中取至少1个、至多整堆的石子，不能取者为输）开始讲起，引入必胜态、必败态的概念——

　　1. 一个状态是必败状态当且仅当它的所有后继都是必胜状态。

　　2. 一个状态是必胜状态当且仅当它至少有一个后继是必败状态。

 

这是刘汝佳大神说的，说得通俗一点就是，必败态的所有后继都是必胜态，必胜态只需有一个后继是必败态即可（这里说的必胜态、必败态都是针对先手来说必胜、必败的意思）。可以看出必败态满足的条件比必胜态更苛刻。没有后继状态的是必败态（也就是终态），一般规则都是不能操作的游戏者为输（是在双方都足够聪明的前提下的），然后可以用一个有向无环图来表示二人博弈的过程。实际上，并不需要这样子做。对于Nim游戏来说，早有科学家给出了一个定理：状态（x1,x2.....xn）为必败状态当且仅当x1^x2^......^xn= 0，即把所有数进行异或和操作，也称Nim sum。能够证明，当Nim sum为0 时为必败状态，非0 时为必胜状态，这是因为，当前状态为0 时，进行的某个操作总能使Nim sum变为非0（因为改变任何一个数字（即任何一堆石子），它的二进制形式会有一位或多位的变化，此时原本各位上都为0 的Nim sum就会有所变动（某些位会变成1）），即所有后继都是必胜状态了；当前状态为非0 时，必定会有某个操作能使Nim sum变为0（只需在Nim sum二进制上那些为1的位上面着手即可），即一定有一个后继状态为必败态。这就是Bouton定理。

　　然而，看到后面我才知道，Bouton定理实质上是SG定理的具体应用。什么是SG定理呢？先要介绍下SG函数：对于任意状态x，定义SG(x)= mex(S)，其中S是x 的后继状态的SG函数值的集合，而mex(S)表示不在S内的最小非负整数。看到这儿是不是感到有点递归的味道了？没错，实际上，它可以用递推来求出各个SG函数的值（要很注意计算顺序，结合具体题目分析），也可以用加记忆化的深搜回溯（不建议使用）。而SG定理就是，游戏和的必胜(败)态等于各个子游戏的SG函数的Nim sum。这样，就可以把各个子游戏分而治之，大大简化了问题。事实上，很多题目虽然可以套用这些理论来分析（这个确实是真的，SG函数是解决博弈问题的王道！），但往往不会那么生硬地要你去求各个子SG函数，做这些博弈题的时候，一定要看清题意，抓住问题的本质（这句话…对于所有题目都适用），直接搞就行(0.0)，只要找清它的必胜态、必败态处于具有什么特征的位置（一般会有个周期的），明显的话一两个循环即可搞掂，别想太多（我有时候刷题就是想太多，总想套上什么特定的算法，模板之类的，结果思维放不开来 -.-||）……总之一句话，多刷题、多get经验才是王道，杭电上面有很多很经典的博弈题（大神们都去刷cf了，别鄙视我等渣渣暂时只会在杭电上找题做），过几天我去水下上面的博弈题，有时间的话再逐个写题解吧~

　　

　　——以上理论均引自刘汝佳的大白书，加上了自己的见解，感觉说得不是很清楚的话可以去大白书上 2.4 组合游戏的章节中详细阅读，不喜勿喷，希望各路大神路过指教下。