[USACO19JAN]Exercise Route

Posted 2021-02-11 asuldb

题目

这题的数据有点水，暴力合并(set)好像过了

分析一下这个题的性质，发现我们一条非树边就会形成一个环，而我们要求选择两个非树边，就会形成两个环，要求不走重复的点，就是说我们需要走一个大环，且必须经过这两个小环

显然需要这两个小环有至少一条公共边

发现问题转化成了求有多少对路径，这对路径有公共边

应该可以用数据结构来维护大力讨论的，当然树上差分的正解思路也非常妙

于是我们写个暴力吧！

对于这道题我第一想法是启发式合并(set)，我们可以利用如同树上差分那样的方式，对于一条路径((u,v))，我们在(u,v)处打上一个标记，在(lca(u,v))再打上一个删除标记，每次合并(set)的时候，往(set)里插入的所有标记都表明这个标记代表的路径经过了这条边，这样这条路径就可以和原来(set)里的标记任意组合了，就可以统计答案了

但是会和正解树上差分遇到一样的问题，就是如果两条路径的公共边形成的不是一条链，这对路径我们会计算两次

这里采用和正解一样的方法就好了，就是利用一个(map)来找到这样的路径有多少对

到这里复杂度还非常正常，是有点大的(O(nlog^2n))，但是我们又发现我们好像没有什么办法去利用删除标记

如果每次合并前都要扫一遍删除集合的话，复杂度显然就不对了，菊花树随便卡掉

于是我们启发式删除，看看维护删除集合小还是待合并集合小，那个小就遍历哪一个

还是过不去怎么办，那就把(set)换成unordered_set，信仰一下就可以了

代码

#include<tr1/unordered_set>
#include<tr1/unordered_map>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define maxn 200005
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define set_it unordered_set<int>::iterator
# define getchar() (S==T&&(T=(S=BB)+fread(BB,1,1<<15,stdin),S==T)?EOF:*S++)
using namespace std::tr1;
char BB[1 << 18],*S=BB,*T=BB; 
inline int read() {
    int x=0;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
struct E{int v,nxt;}e[maxn<<1];
int head[maxn],deep[maxn],sum[maxn],fa[maxn],top[maxn],son[maxn],f[maxn][19],st[maxn];
int n,m,num,cnt,md,t;
int rt[maxn];
LL ans;
unordered_set<int> s[maxn],del[maxn];
unordered_map<LL,int> ma;
inline void add(int x,int y) {e[++num].v=y;e[num].nxt=head[x];head[x]=num;}
void dfs1(int x) {
    sum[x]=1;int maxx=-1;
    for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
        if(deep[e[i].v]) continue;
        deep[e[i].v]=deep[x]+1;fa[e[i].v]=x;f[e[i].v][0]=x;
        for(re int j=1;j<=18;j++) f[e[i].v][j]=f[f[e[i].v][j-1]][j-1];
        dfs1(e[i].v);
        sum[x]+=sum[e[i].v];
        if(sum[e[i].v]>maxx) maxx=sum[e[i].v],son[x]=e[i].v;
    }
}
void dfs2(int x,int topf) {
    top[x]=topf;
    if(!son[x]) return;
    dfs2(son[x],topf);
    for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
        if(top[e[i].v]) continue;
        dfs2(e[i].v,e[i].v);
    }
}
inline int LCA(int x,int y) {
    while(top[x]!=top[y]) {
        if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) std::swap(x,y);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(deep[x]<deep[y]) return x;return y;
}
inline void D(int a,int c) {
    if(del[c].size()<s[a].size()) {
        for(set_it it=del[c].begin();it!=del[c].end();++it) {
            int x=*it;
            s[a].erase(x);
        }
        return;
    }
    t=0;
    for(set_it it=s[a].begin();it!=s[a].end();++it) 
        if(del[c].find(*it)!=del[c].end()) st[++t]=*it;
    while(t) s[a].erase(st[t--]);
}
inline void merge(int a,int b,int c) {
    int now=s[a].size();
    for(set_it it=s[b].begin();it!=s[b].end();++it) {
        int x=*it;
        if(del[c].find(x)!=del[c].end()) continue;
        ans+=now;s[a].insert(x);
    }
}
inline int jump(int x,int y) {
    for (re int i=18;i>=0;--i) if(deep[x]-(1<<i)>deep[y]) x=f[x][i];
    return x;
}
void dfs(int x) {
    D(rt[x],x);
    for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
        if(deep[e[i].v]<deep[x]) continue;
        dfs(e[i].v);
        if(s[rt[e[i].v]].size()<=s[rt[x]].size()) {
            if(x!=1) merge(rt[x],rt[e[i].v],x);
        }
        else {
            D(rt[e[i].v],x);
            if(x!=1) merge(rt[e[i].v],rt[x],x),rt[x]=rt[e[i].v];
        }
    }
}
int main() {
    n=read(),m=read();int x,y,z;
    for(re int i=1;i<n;i++) x=read(),y=read(),add(x,y),add(y,x);
    deep[1]=1,dfs1(1),dfs2(1,1);
    for(re int i=1;i<=n;i++) rt[i]=i;
    for(re int i=n;i<=m;i++) {
        x=read(),y=read();z=LCA(x,y);
        if(x==y) continue;
        if(deep[x]<deep[y]) std::swap(x,y);
        ans+=s[x].size();
        if(z!=y) ans+=s[y].size();
        s[x].insert(i);
        if(z!=y) s[y].insert(i);
        del[z].insert(i);
        if(x==z||y==z) continue;
        int xx=jump(x,z),yy=jump(y,z);
        if(xx>yy) std::swap(xx,yy);
        ans-=ma[(LL)xx*(LL)n+yy];ma[(LL)xx*(LL)n+yy]++;
    }
    dfs(1);
    printf("%lld
",ans);
}