100灯泡围圈通亮问题

Posted 2021-02-11

问题描述

有一百个灯泡，围成一个圈。每个灯泡有一个开关。如果一个灯被打开或者关闭，那么它相邻的两个灯泡状态会与原状态相反（亮变暗，暗变亮）。请问是否存在一种操作方式可以把这一百个灯泡打开（都处于亮的状态）。

分析

1.将一百个等编号【1-100】，设置亮为1，暗为0，初始都为0
2.从1号灯泡开始打开，每次隔着前一次按下编号的两个灯按，N=3n-2 （n表示第n次打开灯泡），这样一直按下去，直到只有99号灯不亮 为止，一共需要按33次。
3.这个时候唯一可以操作的就是把99号灯打开，那么98,100号灯就都灭了，再打开98号灯，那么99就灭了，97号灯也灭了，这个时候，97灭了，98亮，99,100都灭的，其他都是亮的。那么由此可以推出，只要一直这样往前推，直到1号灯变暗，99,100变暗，然后就可以按下100号灯就可以把所有灯都打开了。

推导过程

因为这个100个灯泡有些多，如果我们要进行推论的话，使用一个与100等效的小规模更为适合，这里我们使用的是10个灯泡，将规模整数倍缩小为原来的十分之一。如果说10个灯泡可以都按亮，那么100个同理都可以按亮。请看下面的Excel表格的推导演示。