开关灯问题

Posted 2021-01-06 lightwindy

有编号1~100个灯泡，起初所有的灯都是灭的。有100个同学来按灯泡开关，如果灯是亮的，那么按过开关之后，灯会灭掉。如果灯是灭的，按过开关之后灯会亮。

现在开始按开关。

第1个同学，把所有的灯泡开关都按一次(按开关灯的编号： 1,2,3,......100)。
第2个同学，隔一个灯按一次(按开关灯的编号： 2,4,6,......,100)。
第3个同学，隔两个灯按一次(按开关灯的编号： 3,6,9,......,99)。
......

问题是，在第100个同学按过之后，有多少盏灯是亮着的？

这个问题有一个数学上的解决方法。可以看出，被按了奇数次的灯泡应该是亮着的，被按了偶数次的灯泡应该是灭的。那么什么样的灯泡被按了奇数次？什么样的灯泡又被按了偶数次呢？从按的过程可以发现，如果一个灯泡的编号具有偶数个因子，那么该灯泡就被按了偶数次，反之按了奇数次。现在的问题又变成，什么样的编号具有奇数个因子，什么样的编号具有偶数个因子？这涉及到一个叫做质因数分解的定理，大概的意思是说，任何正数都能被唯一表示成多个质因数幂次乘积的方式。

例如:

14=2*7
50=2*5^2
...
100=2^2*5^2

也就是N=(p[1]^e[1])*(p[2]^e[2])*......*(p[k]^e[k])，其中p[i]是质数，e[i]是p[i]的幂次。而由这个公式我们又可以导出一个数有多少个因子的计算公式:FactorNumber(N)=(e[1]+1)*(e[2]+1)*......*(e[k]+1)

推导过程举例：45 = 3^2 * 5 ^ 1, 45可以被分解为：3^0 * 5^0, 3^0 * 5^1, 3^1 * 5^0, 3^1 * 5^1, 3^2 * 5^0, 3^2 * 5^1，一共六个因子

那么什么条件下满足FactorNumber(N)是奇数呢？显然必须所有的e[1],e[2],......,e[k]都必须是偶数，这样才能保证e[i]+1是奇数，结果乘积才能是奇数。而由于e[1],e[2],......,e[k]都是偶数,那么N一定是一个完全平方数(因为sqrt(N)=(p[1]^(e[1]/2))*(p[2]^(e[2]/2))*......*(p[k]^(e[k]/2))是整数) 。回到按灯泡的问题上来，1~100中完全平方数有1,4,9,16,25,36,49,64,81,100这10个数，也就是说最后只有编号为这10个数的灯是亮着的。

 

 

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int N, M, i, j, index=0;
    bool on[5001]; // 记录灯的开关状态
    cin >> N >> M;
    for (i=0; i<5001; i++) on[i] = false; // 第1人
    for (i=2; i<=M; i++){ // 从第2个人开始模拟
        for (j=i; j<=N; j+=i){
            on[j] = !on[j];
        }
    }
    for (i=1; i<=N; i++){
        if (!on[i]){
            if (index == 0) cout << i;
            else cout << "," << i;
            index++;
        }
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

C:

#include <iostream>

using namespace std;

int a[1010] = {0};

int main()
{
    int n, k, first = 1;
    cin>>n>>k;

    for (int i = 1; i <= k; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (j % i == 0)
            {
                a[j] = !a[j];
            }
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if(a[i])
        {
        if (first)
        {
            first = 0;
        }
        else
        {
            cout<<" ";
        }
            cout<<i;
        }
    }

    return 0;
}