「P5004」专心OI - 跳房子 解题报告

Posted 2021-02-10 hovny

题面

把(N)个无色格子排成一行，选若干个格子染成黑色，要求每个黑色格子之间至少间隔(M)个格子，求方案数

思路：

矩阵加速

根据题面，这一题似乎可以用递推

设第(i)个格子的编号为(i)，有(i)个格子时的方案数为(f(i))

显然，当 (i le M+1) 时，

可以所有格子不染色（方案数为(1)种，或者最多有一个格子染色（方案数为(i)种）

所以有(f(i)=i+1)

当(i>M+1)时，

对于第(i)个格子可以由第(i-1)个格子转移过来，

而第(i)个格子有两种情况

1、不染色，显然可以这种情况下方案数为(f(i-1))

2、染色，可以看出第([i-m,i-1])个格子必定不染色，也就是没有贡献的，方案数为(f(i-m-1))

但是！

(N le 10^{18})，(M le 15)

可以使用矩阵加速递推

求解

我们要记录的是应该是(f(i) o f(i+m))一共(m+1)个元素，于是就用一个((M+1)^2)的矩阵进行加速，配合快速幂求解

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define Mod 1000000007
#define N 20
using namespace std;
int n;
ll b;
struct node{//矩阵放结构体里
    ll f[N][N];
}res,a;
node operator* (const node a,const node b)//重载*运算
{
    int i,j,k;
    node c;ll res;
    for(i=0;i<n;i++)
        for(j=0;j<n;j++)
        {
            res=0;
            for(k=0;k<n;k++)
                res=(res+a.f[i][k]*b.f[k][j])%Mod;
            c.f[i][j]=res;
        }
    return c;
}
void init(){//初始化
    int i;
    for(i=0;i<n;i++) res.f[0][i]=i+2;//矩阵下标从0开始，所以+2
    for(i=0;i<n-1;i++) a.f[i+1][i]=1;
    a.f[n-1][n-1]=a.f[0][n-1]=1;
}
void quickPow(ll b)
{
    while(b)
    {
        if(b&1) res=res*a;
        b>>=1;a=a*a;
    }
}
int main()
{
    scanf("%lld%d",&b,&n);--b,++n;//res初始为b=1的情况，所以实际的b要-1
    init();quickPow(b);//n++是方便计算间隔
    printf("%lld",res.f[0][0]);
    return 0;
}