散列(hash)

Posted 2021-02-10 manok

　　散列（hash）是常用的算法思想之一，在很多程序中都会有意无意地使用到。

　　先来看一个简单的问题：给出N个正整数，再给出M个正整数，问这M个数中每个数分别是否在N个数中出现过。

例如N=5，M=3，N个正整数{8,3,7,6,2}，欲查询的M个正整数为{7,4,2}，于是后者只有7和2在N个正整数中出现过，

而4是没有出现过的。

　　对于这个问题，最直观的思路是：对每个欲查询的正整数x，遍历所有的N个数，看是否有一个数与x相等。这种

做法的时间复杂度为O(MN)，当N和M都很大时，时间复杂度显然太大！

　　那么该如何做呢？--不妨用空间换时间，即设定一个bool型数组hashTable[100001]，其中hashTable[x]=true;表示

整数x在N中出现过，而hashTable[x]=false表示正整数x没有在N中出现过。这样就可以在一开始读入N个正整数时就进

行预处理，即当读入x时，就令hashTable[x]=true;（说明：hashTable数组需要初始化为false，表示初始状态下所有数

都没有出现过）。于是，对M个欲查询的数，就能够直接通过hashTable数组判断每个数是否出现过。显然这种做法的

时间复杂度为(N+M)，代码如下：

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　　同样的，如果题目要求M个欲查询的数中每个数在N个数中出现的次数，那么可以把hashTable数组替换为int型，然后

在输入N个数时进行预处理，即当输入的数为x时，就令hashTable[x]++;这样就可以用O(N+M)的时间复杂度输出每个欲查询

的数出现的次数。代码如下：

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　　上面的问题都有一个特点，那就是直接把输入的数作为数组的下标来对这个数的性质进行统计。这是一个很好的用空间

换时间的策略，因为它将查询的复杂度降到了O(1)级别。但是，这个策略暂时还有一个问题--上面题目中的每个数都不会超过

10⁵，因此直接作为数组下标是可行的，但是如果输入可能是10⁹大小的整数，或者甚至是一个字符串（例如"I love you“)，就不能

将它们直接作为数组下标了。要是有一种做法，可以把这些乱七八糟的元素转化为一个在能接受范围内的整数，那该多么美好呀！

　　这样的做法当然是存在的，那就是散列（hash）。一般来说，散列可以浓缩成一句话”将元素通过一个函数转化为整数，使得

该整数可以尽量唯一地代表这个元素“。其中把这个转化函数称为散列函数H，也就是说，如果元素在转化前为key，那么转化后就

是一个整数H(key)。

　　那么key是整数的情况来说，有哪些常用的散列函数呢？一般来说，常用的有直接定址法，平方取中法，除留余数法等

未完待续……