梅森素数

Posted 2021-02-09 8023spz

如果一个数字的所有真因子之和等于自身，则称它为“完全数”或“完美数”

例如：6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

早在公元前300多年，欧几里得就给出了判定完全数的定理：

若 2^n - 1 是素数，则 2^(n-1) * (2^n - 1) 是完全数。

其中 ^ 表示“乘方”运算，乘方的优先级比四则运算高，例如：2^3 = 8， 2 * 2^3 = 16, 2^3-1 = 7

但人们很快发现，当n很大时，判定一个大数是否为素数到今天也依然是个难题。

因为法国数学家梅森的猜想，我们习惯上把形如：2^n - 1 的素数称为：梅森素数。

截止2013年2月，一共只找到了48个梅森素数。 新近找到的梅森素数太大，以至于难于用一般的编程思路窥其全貌，所以我们把任务的难度降低一点：

1963年，美国伊利诺伊大学为了纪念他们找到的第23个梅森素数 n=11213，在每个寄出的信封上都印上了“2^11213-1 是素数”的字样。

2^11213 - 1 这个数字已经很大(有3000多位)，请你编程求出这个素数的十进制表示的最后100位。

答案是一个长度为100的数字串，请通过浏览器直接提交该数字。

注意：不要提交解答过程，或其它辅助说明类的内容。

答案 (5分)

BigInteger快速幂。

代码：

import java.math.BigInteger;

public class Main {
    
    public static void main(String[] args) {
        BigInteger a = BigInteger.ONE;
        BigInteger b = BigInteger.ONE;
        BigInteger d = new BigInteger("2");
        for(int i = 0;i < 100;i ++) {
            a = a.multiply(BigInteger.TEN);
        }
        int c = 11213;
        while(c != 0) {
            if(c % 2 == 1) {
                b = b.multiply(d).mod(a);
            }
            d = d.multiply(d).mod(a);
            c /= 2;
        }
        b = b.subtract(BigInteger.ONE);
        System.out.println(b);
    }
}