CodeForces 1098D. Eels

Posted 2021-02-07 tinywong

题目简述：对一个非空正整数（可重）集合$S$，从中选出两个元素$a, b (a leq b)$，将他们从$S$中删除并将$a+b$加入$S$，重复这个操作直到$S$中只剩下一个元素为止，称为一次【竞技】。若一次操作中$a leq b leq 2a$，则称这次操作是【危险的】。一次竞技的【危险值】为其中【危险的】操作的次数。定义这个集合$S$的【危险值】（记作$ ext{danger}(S)$）为：所有可能的竞技的【危险值】的最大值。设一个集合$S$初始为空集，维护以下操作：

1. 插入一个数$1 leq x leq 10^9$。

2. 删除一个（已有的）数$1 leq x leq 10^9$。

每次操作后，计算$ ext{danger}(S)$。

解：code

对$x in S$，定义$S$中比$x$小的数之和为

$$ f(x) = sum_{a in S, a < x} x. $$

令$S$中满足$2f(x) < x$的$x$的个数为

$$t = sum_{x in S} [2f(x)<x]. $$

观察1：$ ext{danger}(S)=|S|-t$。