xsy1098第k小 可持久化trie

Posted 2021-02-07 xiefengze1

题目大意：你要维护一个长度为$n$的序列，资瓷对整个序列$xor,and,or$一个数，以及区间第k小查询。

数据范围：$n≤50000$，所有数字$＜2^{31}$。

 

此题甚妙

我们不难想出没有位运算的区间第k大查询，直接可持久化trie就可以了。

考虑此题只有xor操作。

我们记一个$last$表示之前所有异或操作的数的异或和。

查询区间第$k$小时，随便查询下就行了（在比较时假装交换$trie$的左右子树）

 

考虑存在$or$和$and$操作，我们设对序列操作的数字为$x$，设$vis[k]$表示整个序列的第$k$位是否被全部归零过。

不难发现，$and$操作对第i位有意义，当且仅当数字$x$的第$i$位为$0$，（$or$情况类似等下会讲），在这种情况下，对于序列上的所有数，第$i$位都会归零，（last的第$i$位也会归零）

同理，$or$操作对第i位有意义，当且仅当数字$x$的第$i$位为$1$，对于序列上所有数，第$i$位都会变为1（$last$的第$i$位也会变为1）

实际上两个操作本质上是相同的，我们可以用$and$操作和$last|=x$去实现$or$操作。

不难发现，对于数列的每一位，归零操作至多只需要执行一次。

那么，对于每个需要执行归零操作的$or$或$and$操作，我们重建一次可持久化$trie$就可以了。

 

时间复杂度$O(n log^2 V+m log V) $其中V为数列中的最大值。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define M 50005
 3 #define INF 2147483647
 4 using namespace std;
 5 
 6 struct trie{int a[2],siz;}a[M*33]={0}; int use=0;
 7 void add(int &x,int dep,int zhi){
 8     a[++use]=a[x]; a[x=use].siz++;
 9     if(dep==-1) return;
10     bool k=zhi&(1<<dep);
11     if(k) add(a[x].a[1],dep-1,zhi);
12     else add(a[x].a[0],dep-1,zhi);
13 }    
14 int num[M]={0},n,m,zhi=0,root[M]={0},vis[32]={0},pls=INF;
15 
16 int query(int x,int y,int dep,int K){
17     if(dep==-1) return 0;
18     bool k=zhi&(1<<dep);
19     int now=a[a[y].a[k]].siz-a[a[x].a[k]].siz,res=1<<dep;
20     if(K<=now) res=query(a[x].a[k],a[y].a[k],dep-1,K);
21     else res+=query(a[x].a[k^1],a[y].a[k^1],dep-1,K-now);
22     return res;
23 }
24 
25 void build(){
26     for(int i=1;i<=n;i++) num[i]=num[i]&pls;
27     use=0;
28     for(int i=1;i<=n;i++){
29         root[i]=root[i-1];
30         add(root[i],30,num[i]);
31     }
32 }
33 int main(){
34     scanf("%d%d",&n,&m);
35     for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",num+i);
36     build();
37     while(m--){
38         char op[4]; int x,l,r,k; pls=INF;
39         scanf("%s",op);
40         if(op[0]==‘X‘){scanf("%d",&x); zhi^=x;}
41         if(op[0]==‘O‘){
42             scanf("%d",&x);
43             for(int i=0;i<=30;i++)
44             if(((1<<i)&x)){
45                 if(vis[i]==0) vis[i]=1,pls^=(1<<i);
46                 zhi|=(1<<i); 
47             }
48             if(pls==INF) continue;
49             build();
50         }
51         if(op[1]==‘n‘){
52             scanf("%d",&x);
53             for(int i=0;i<=30;i++)
54             if(((1<<i)&x)==0){
55                 if(vis[i]==0) vis[i]=1,pls^=(1<<i);
56                 zhi&=(INF-(1<<i)); 
57             }
58             if(pls==INF) continue;
59             build();
60         }
61         if(op[1]==‘s‘){
62             scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
63             printf("%d
",query(root[l-1],root[r],30,k));
64         }
65     }
66 }