清橙 A1318 加强版：Almost

Posted 2021-02-06 turboboost

题意：

直接看题面吧

原版：(n leq 1e5, q leq 3e4, TL 5s, ML 256G)

加强版1：(n,q leq 1.5e5, TL 5s, ML 256G)

加强版2：(n,q leq 1.5e5, TL 5s, ML 1G, 强制在线)（由于空间变大所以严格来说不算加强版……）

思路：

原版

题解

加强版1

首先考虑能否分数规划。

那么要判定
(frac{sum A}{n-1}geq R)

变形

(sum Ageq Rcdot(n-1))

(sum A?Rcdot ngeq?R)

(sum (A_i?R)geq?R)

接下来先不管强制在线，考虑整体二分。
那么在整体二分的当前轮中，我们对于每个询问有一个二分的(Mid)值。
显然我们应该按(Mid)从小到大（反着来当然也行）处理。

问题转化为：一个数列，支持全体加正数，和查询区间最大子段和。

先建出线段树，在每个结点我们统计“在结点对应区间内，且以区间中心为一个端点”的所有子段。（不妨称作“单侧子段”）
对应区间长度为(len)的结点，单侧子段有(O(len))个。

进而考虑“在结点对应区间内，且过区间中心”的子段（不妨称作“完整子段”）。
易见最优的完整子段由两侧最优的单侧子段拼成。
两侧最优的单侧子段只会变化(O(len))次，故需要考虑的完整子段是(O(len))个。

不止如此，结点里还要统计所有后代的完整子段，于是所有结点统计的完整子段共有(O(n log^2 n))个。

注意到一个子段的和是关于全局增量(Delta)的一次函数，于是不妨对每个结点统计的完整子段求凸包。
观察：由于斜率只有(O(len))种，故每个结点的凸包大小是(O(len))，总大小(O(n log n))。

随着(Delta)的增加，我们在每个结点里维护一个扫描线就能查到“在结点对应区间内”的最优子段。
回答询问时会把区间拆成(O(log n))个线段树区间，如何合并？

对每个线段树区间维护“内部最优子段”、“以两侧边界为端点的内部最优子段”，然后类比贪心求最大子段和的方法合并出答案。

单次询问(O(log n))，整体二分中有(O(n log n))次询问，时间共(O(n log^2 n))。
空间即凸包大小总和，(O(n log n))。

加强版2

强制在线？
需要抛开扫描线才行。

注意到问题分为两个部分：

1、每个线段树区间的“内部最优子段”

2、每个线段树区间的“以两侧边界为端点的内部最优子段”

每个部分，原先维护的扫描线都会有(O(n log n))个“关键点”，每碰到一个关键点，某个结点的答案就要改变。

由于不能用整体二分，所以不能依赖扫描线来找到每个结点当前的关键点。

不妨在每个结点里同时存储所有后代的关键点，把这些点排序后标明，是自己的关键点，还是左儿子的，还是右儿子的。
以下的“关键点”就指代经过这番扩展后的关键点了。

那么回答询问，先在根节点里二分找到(Delta)对应的关键点，然后用Wavelet Tree的方法，不断把当前结点的关键点编号对应上儿子的关键点编号即可。

Wavelet Tree的方法？很简单，就是对自己的每个关键点，预处理“他是第几个来自左/右儿子的关键点”。

时间不变，空间(O(n log^2 n))，但因为空间常数很小所以1G存的下。

代码：

咕咕咕

这东西我能写一年