刷题清橙 A1339 JZPLCM(顾昱洲)

Posted 2021-01-02 hongyj

试题来源

2012中国国家集训队命题答辩

问题描述

给定一长度为n的正整数序列a，有q次询问，每次询问一段区间内所有数的lcm(即最小公倍数)。由于答案可能很大，输出答案模1000000007。

输入格式

第一行，两个整数，n, q，分别表示数列长度和询问个数。
下面n行，每行一个整数，第i行的整数为ai。
下面q行，每行两个整数l, r，表示询问下标i在[l, r]范围内的ai的lcm。

输出格式

q行。对于每个询问，输出一行，表示对应的答案。

样例输入

3 3
123
234
345
1 2
2 3
1 3

样例输出

9594
26910
1103310

样例说明

我们用1和2来分别表示两种颜色的宝石，则这串项链有四种等概率的情形：1121，1122，1221和1222。它们的幸运度分别是2，2，2，3，因此期望的幸运度是2.25。

数据规模和约定

测试数据编号	规模和约定
1, 2	n, q<=1000
3, 4	n, q<=5000
5, 6	n, q<=20000
7, 8	n, q<=30000
9, 10	n, q<=40000
11, 12	n, q<=50000
13, 14	n, q<=80000
15, 16	n, q<=100000
17, 18, 19, 20	n, q<=100000 数列a中每个数能表示为不超过100的素数的积

对于所有测试点，数列a中每个数满足1<=ai<=1000000000。

题解

求一个区间的 (lcm) ，将区间中所有数进行质因数分解，(lcm) 就是区间中所有质因数在最大幂次的情况下的乘积
询问离线
将所有数的每个质因子拆成 (p_i^1,p_i^2,p_i^3,...,p_i^{k_i}) 物品，用BIT维护区间内最大幂次就好了

#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
const int MAXN=100000+10,Mod=1e9+7;
int n,q,pt,cnt,prime[MAXN],vis[MAXN];
ll ans[MAXN];
std::map<int,int> M;
struct node{
    int id,val,num,las;
};
node p[MAXN*35];
struct question{
    int id,l,r;
    inline bool operator < (const question &A) const {
        return r<A.r||(r==A.r&&l<A.l);
    };
    inline bool operator > (const question &A) const {
        return id<A.id;
    };
};
question query[MAXN];
struct BIT{
    ll C[MAXN];
    inline void init()
    {
        for(register int i=1;i<=n;++i)C[i]=1;
    }
    inline int lowbit(int x)
    {
        return x&(-x);
    }
    inline void add(int x,ll k)
    {
        if(!x)return ;
        while(x<=n)C[x]=1ll*C[x]*k%Mod,x+=lowbit(x);
    }
    inline ll mul(int x)
    {
        ll res=1;
        while(x>0)res=1ll*res*C[x]%Mod,x-=lowbit(x);
        return res;
    }
};
BIT T;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
    T data=0,w=1;
    char ch=0;
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
    x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch='')
{
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
    if(ch!='')putchar(ch);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline void init()
{
    memset(vis,1,sizeof(vis));
    vis[0]=vis[1]=0;
    for(register int i=2;i<MAXN;++i)
    {
        if(vis[i])prime[++cnt]=i;
        for(register int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<MAXN;++j)
        {
            vis[i*prime[j]]=0;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}
inline void work(int x,int id)
{
    for(register int i=1,lt=std::sqrt(x);i<=cnt&&prime[i]<=lt;++i)
    {
        int tmp=1;
        while(x%prime[i]==0)
        {
            tmp*=prime[i];
            p[++pt]=(node){id,prime[i],tmp,0};
            x/=prime[i];
        }
    }
    if(x!=1)p[++pt]=(node){id,x,x,0};
}
inline ll qexp(ll a,ll b)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)res=res*a%Mod;
        a=a*a%Mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    read(n);read(q);
    init();T.init();
    for(register int i=1,x;i<=n;++i)read(x),work(x,i);
    for(register int i=1;i<=pt;++i)p[i].las=M[p[i].num],M[p[i].num]=p[i].id;
    for(register int i=1;i<=q;++i)
    {
        int l,r;read(l);read(r);
        query[i]=(question){i,l,r};
    }
    std::sort(query+1,query+q+1);
    for(register int i=1,j=1,k=1;i<=n;++i)
    {
        while(j<=pt&&p[j].id==i)T.add(i,p[j].val),T.add(p[j].las,qexp(p[j].val,Mod-2)),++j;
        while(k<=q&&query[k].r==i)ans[query[k].id]=1ll*T.mul(i)*qexp(T.mul(query[k].l-1),Mod-2)%Mod,++k;
    }
    for(register int i=1;i<=q;++i)printf("%lld
",ans[i]);
    return 0;
}