HDU-3579-Hello Kiki （利用拓展欧几里得求同余方程组）

Posted 2021-02-06 angel-demon

设 ans 为满足前 n - 1个同余方程的解，lcm是前n - 1个同余方程模的最小公倍数，求前n个同余方程组的解的过程如下：

①设lcm * x + ans为前n个同余方程组的解，lcm * x + ans一定能满足前n - 1个同余方程；

②第 n 个同余方程可以转化为a[n] * y + b;

合并①②得：lcm * x + ans = a[n] * y + b; => lcm * x - a[n] * y = b - ans（可以用拓展欧几里得求解x和y）

但是拓展欧几里得要求取余的数是正数，我们可以转化上面的方程为lcm * x + a[n] * -y = b - ans（后面我们用x得到解，所以不关心y的正负）

解得一组x和y;

x += k * (a[n] / gcd);（k为任意整数）

我们可以求得最小非负数x，在带入①得到前n个同余方程的最小非负数解；

代码如下：

Accepted

3579

15MS

1368K

1112 B

G++

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
int a[105], b[105];
// 拓展欧几里得C++模板 
int ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int ans = ex_gcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return ans;
}
int solve(int n) {
    // 任何数对1取余都是0,所以初始化ans = 0, lcm = 1; 
    int x, y, ans = 0, lcm = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int gcd = ex_gcd(lcm, a[i], x, y);
        if ((b[i] - ans) % gcd) {
            return -1;
        }
        // 拓展欧几里得求得的x和y是对于gcd而言的。乘完之后才是对于 (b[i] - ans) 的 x 
        x *= (b[i] - ans) / gcd;
        a[i] /= gcd;
        // 使 x 成为最小非负数解 
        x = (x % a[i] + a[i]) % a[i];
        // 更新ans 
        ans += x * lcm;
        // 更新lcm 
        lcm *= a[i];
    } 
    // 本题要求最小正整数解，如果ans是0，要加一个最小公倍数也就是lcm 
    return ans ? ans : lcm;
}
int main() {
    int t, n, ca = 1;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d", &b[i]);
        }
        printf("Case %d: %d
", ca++, solve(n));
    }
    return 0;
}