64位整数乘法

Posted 2021-02-06 mr94kevin

//总结自李煜东著《算法竞赛进阶指南》

问题：求a乘b对p取模的值，其中1<=a,b,p<=10^18。

简单的暴力相乘显然会溢出（相当于对64位整数最大值+1取模），对a进行b次累加显然会超时。

法一：

仿照快速幂，用二进制表示b。

 1 typedef long long ll;
 2 
 3 inline ll mul(ll a, ll b, ll p) {
 4     a %= p, b %= p;
 5     ll ans = 0;
 6     while (b) {
 7         if (b & 1) ans = (ans + a) % p;
 8         a = a * 2 % p, b >>= 1;
 9     }
10     return ans;
11 }

法二：

利用a*b%p=a*b-floor(a*b/p)*p求解，其中floor函数表示向下取整。

1 inline ll mul(ll a, ll b, ll p) {
2     a %= p, b %= p;
3     ll c = (long double)a * b / p;
4     ll ans = a * b - c * p;
5     if (ans < 0) ans += p;
6     else if (ans >= p) ans -= p;
7     return ans;
8 }

值得一提的是，尽管a*b和c*p可能溢出，但这并不影响，因为a*b-c*p一般不会超过p-1，我们只关心他们的低位。