64位整数乘法讲解-And-AcWing-90. 64位整数乘法-方法二-《算法竞赛进阶指南》

Posted 2021-10-20 Tisfy

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• 64位整数乘法
• • 题目描述
  • 问题分析
• 64位整数乘法模板
• • AcWing-90. 64位整数乘法
  • • Problem Description
    • Tips
• AC代码

64位整数乘法

题目描述

求$a\ast b$对$mod$取模的值

$1\le a,b,mod\le 10^{18}$

问题分析

先不考虑$\_\_int128$

利用$a\ast b\%mod=a\ast b-\lfloor a\ast b/mod\rfloor \ast mod$(其中$\lfloor \rfloor$表示向下取整)

记$a\ast b$为$x$，$\lfloor a\ast b/mod\rfloor$为$y$

问题有$2$个，一是如何计算出$\lfloor a\ast b/mod\rfloor$，而是如何计算$x-y\ast mod$

因为$longdouble$在十进制下的有效数字有$18$~$19$位，当$a,b<mod$时$c$也一定小于$mod$。所以$longdouble$可以胜任，再把结果强制转换为$unsignedlonglong$即可。$y$由此计算。

因为$a\ast b-c\ast mod$其实就是$a\ast b\%mod\le mod<2^{64}$，所以$a\ast b-c\ast mod=(a\ast b-c\ast mod)\%2^{64}$，又因为$unsignedlonglong$溢出时相当于对$2^{64}$自动取模，所以$x-y\ast mod$由此计算。

时间复杂度为$O(1)$

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64位整数乘法模板

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;

ll mul(ll a, ll b, ll mod)
{
    a %= mod, b %= mod;
    ull c = (long double)a * b / mod;
    ull x = a * b, y = c * mod;
    ll ans = (ll)x % mod - (ll)y % mod;
    if (ans < 0)
        ans += mod;
    return ans;
}

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AcWing-90. 64位整数乘法

传送门

Problem Description

求$a\ast b$对$mod$取模的值

Tips

$1\le a,b,mod\le 10^{18}$

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AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define dbg(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define fi(i, l, r) for (int i = l; i < r; i++)
#define cd(a) scanf("%d", &a)

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
ll mul(ll a, ll b, ll mod)
{
    a %= mod, b %= mod;
    ull c = (long double)a * b / mod;
    ull x = a * b, y = c * mod;
    ll ans = (ll)x % mod - (ll)y % mod;
    if (ans < 0)
        ans += mod;
    return ans;
}

int main()
{
    ll a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    cout << mul(a, b, c) << endl;
    return 0;
}

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