64位整数乘法讲解-And-AcWing-90. 64位整数乘法-《算法竞赛进阶指南》

Posted 2021-10-20 Tisfy

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• 64位整数乘法
• • 题目描述
  • 问题分析
• 64位整数乘法模板
• • AcWing-90. 64位整数乘法
  • • Problem Description
    • Tips
• AC代码

64位整数乘法

题目描述

求$a\ast b$对$mod$取模的值

$1\le a,b,mod\le 10^{18}$

问题分析

先不考虑$\_\_int128$

类似于快速幂的思想，$b=c_{k-1}{2}^{k-1}+c_{k-2}{2}^{k-2}+\cdots +c_0{2}^0$

因此：$a\ast b=a\ast c_{k-1}{2}^{k-1}+a\ast c_{k-2}{2}^{k-2}+\cdots +a\ast c_0{2}^0$

也就是说如果$b$的第$i$位$c_i$是$0$，那么$a\ast c_i{2}^i$就等于$a\ast 0=0$；如果$c_i$是$1$，那么就等于$a\ast 2^i$

又有$a\ast 2^i=(a\ast 2^{i-1})\ast 2$，而$k=lo{g}_2(\lceil b+1\rceil )$（$\lceil \rceil$表示向上取整），故时间复杂度为$O(lo{g}_{2}b)$

所以每次取$b$中的$1$位($b\&1,b>>=1$)，每次$a$都乘$2$($a=a\ast 2\%mod$)，如果$b$的这一位是$1$就累加到$ans$中。

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64位整数乘法模板

typedef long long ll;

ll mul(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll ans=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans = (ans+a)%mod;
        a = a*2%mod;
    }
    return ans;
}

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AcWing-90. 64位整数乘法

传送门

Problem Description

求$a\ast b$对$mod$取模的值

Tips

$1\le a,b,mod\le 10^{18}$

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AC代码

/*
 * @Author: LetMeFly
 * @Date: 2021-07-26 18:44:35
 * @LastEditors: LetMeFly
 * @LastEditTime: 2021-07-26 18:50:06
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define dbg(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define fi(i, l, r) for (int i = l; i < r; i++)
#define cd(a) scanf("%d", &a)
typedef long long ll;

ll mul(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll ans = 0;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ans = (ans + a) % mod;
        a = a * 2 % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    cout << mul(a, b, c) << endl;
    return 0;
}

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Tisfy：https://letmefly.blog.csdn.net/article/details/119147862